[wiskunde] toepassingen op integralen (3)

Klintersaas

Opgave:

Bereken de oppervlakte van het deel van het vlak begrensd door de kromme met poolvergelijking

\(r = a(1 + 2\cos(\phi))\)

.[/i]

Mijn oplossing:

\(\begin{array}{rcl}S & = & \dfrac12 \displaystyle \int_{\phi_1}^{\phi_2} r^2 \mbox{d}\phi \\&& \\& = & \dfrac{a^2}{2} \displaystyle \int_{\phi_1}^{\phi_2} (1 + 2\cos(\phi))^2 \mbox{d}\phi \\&& \\& = & \dfrac{a^2}{2} \displaystyle \int_{\phi_1}^{\phi_2} (1 + 4\cos(\phi) + 4\cos^2(\phi)) \mbox{d}\phi \\&& \\& = & \dfrac{a^2}{2} [3\phi + 4\sin(\phi) + 2\sin(\phi)\cos(\phi))]_{\phi_1}^{\phi_2}\end{array}\)

Wederom is het integreren niet echt het probleem, maar eerder het bepalen van de grenzen. Ik weet namelijk niet hoe ik

\(\phi_1\)

en

\(\phi_2\)

kan bepalen. Ik neem aan dat het hier gaat om de verticale raaklijnen van deze kromme, met vergelijking

\(\phi = \phi_1\)

en

\(\phi = \phi_2\)

, maar hoe vind ik die?

Klintersaas

EDIT: Laat maar, ik ben eruit.

Ik moet de vergelijking van een verticale vinden en die heeft richtingscoëfficiënt oneindig. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan een kromme met gegeven poolvergelijking wordt gegeven door:

\(\phi_1 = 0\)

en

\(\phi_2 = \frac{2\pi}{3}\)

:

\(S = \dfrac{a^2}{2} [3\phi + 4\sin(\phi) + 2\sin(\phi)\cos(\phi))]_0^{\frac{2\pi}{3}} = \dfrac{a^2}{2} \left(2\pi + 2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \dfrac{a^2}{2} \left(2\pi + \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\)

yoralin

r > 0, dus cos(phi) >= -1/2 of phi tussen -(2/3)\pi en (2/3)\pi.

Phys

Heb je een plaatje gemaakt?

Klintersaas

EDIT: Ik ben er een rommeltje van het maken. Door herhaald wijzigen en kopiëren zijn enkele zaken de mist in gegaan. Gelieve het stukje "Ik moet de vergelijking van een verticale vinden ... wordt gegeven door:" te beschouwen als onzichtbaar (of, mocht een moderator dit lezen, daadwerkelijk te verwijderen.

Dankzij yoralins hint zie ik nu ook dat ik slechts de halve oppervlakte heb berekend en dat ik het geheel nog moet vermenigvuldigen met 2.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] toepassingen op integralen (3)

[wiskunde] toepassingen op integralen (3)

Re: [wiskunde] toepassingen op integralen (3)

Re: [wiskunde] toepassingen op integralen (3)

Re: [wiskunde] toepassingen op integralen (3)

Re: [wiskunde] toepassingen op integralen (3)