Springen naar inhoud

[wiskunde] diff. verg. , eigenfuncties, greense functies.


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Heezen

    Heezen


  • >250 berichten
  • 481 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 mei 2009 - 17:11

Zij Ly = 0, y(a) = y(b) = 0 een homogeen randwaardeprobleem dat
alleen de triviale oplossing y = 0 heeft. Toon aan dat y dan en slechts
dan een eigenfunctie bij de eigenwaarde LaTeX is als

LaTeX

met G de functie van Green.

Ok, - iemand enig idee?
Want de enige oplossing is de triviale oplossing y=0.. Wat is sowieso het nut van deze opgave,- uit die integraal komt ook altijd 0?

Ben een beetje in de war..

Veranderd door Heezen, 22 mei 2009 - 17:12

Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just fucked urself..
Correct me if I'm wrong.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

yoralin

    yoralin


  • >100 berichten
  • 194 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 mei 2009 - 17:35

Als de kern van L triviaal is, bestaat die G en is die uniek.

Wat bedoeld wordt is : toon aan :
(1) Als Ly = \lambda y, dan is y(x) = die integraal.
(2) Omgekeerd, als y(x) = die integraal, dan is Ly = \lambda y.

#3

Heezen

    Heezen


  • >250 berichten
  • 481 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 mei 2009 - 17:51

Ik snap et niet helemaal; want y dus ook LaTeX is altijd 0..Want y=0 is toch de enige oplossing..?

En [die integraal] is ook altijd 0 vanwege de y(\xi) erin..

Veranderd door Heezen, 22 mei 2009 - 17:54

Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just fucked urself..
Correct me if I'm wrong.

#4

yoralin

    yoralin


  • >100 berichten
  • 194 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 mei 2009 - 18:01

Neem bvb. L = D^2 met randvoorwaarden y(0) = 0 = y(1). De kern daarvan is triviaal.

Die L heeft (onder meer) eigenfuncties f_m(x) = exp(m x), waarvoor \lambda = m^2.
Voor y(x) = f_m(x) is y(x) = \lambda . (die integraal).

Omgekeerd, als een functie f(x) een oplossing is van die integraalvergelijking, dan is Lf = \lambda f.

Veranderd door yoralin, 22 mei 2009 - 18:02


#5

Heezen

    Heezen


  • >250 berichten
  • 481 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 mei 2009 - 12:24

Wat is er fout aan als ik zeg ( om jouw eerste punt te bewijzen): (1) Als Ly = \lambda y, dan is y(x) = die integraal.

Stel Ly=labda y
Omdat Ly=0,y(a)=y(b)=0 enkel de triviale oplossing y=0 heeft, is Ly=labda y=0, voor alle labda.
[die integraal] Is ook altijd 0, want je hebt er een y(\xi) erin, die altijd 0 is.. Dus y(x)=die integraal
Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just fucked urself..
Correct me if I'm wrong.

#6

yoralin

    yoralin


  • >100 berichten
  • 194 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 mei 2009 - 13:17

Dan heb je 't alleen voor LaTeX bewezen. Vanaf "toon aan" gaat het niet meer over y = 0, maar over een willekeurige eigenfunctie. Wat men vraagt is :

Zij Ly = 0, y(a) = y(b) = 0 een homogeen randwaardeprobleem dat alleen de triviale oplossing y = 0 heeft (*).

Toon aan dat z dan en slechts dan een eigenfunctie bij de eigenwaarde LaTeX is (dus LaTeX z(x)) als LaTeX ,
met G de functie van Green (en deze G is uniek wegens (*)).
==

Oplossing : de functie van Green is zodanig dat de oplossing van Lz = f(x) gegeven wordt door LaTeX .

Voor LaTeX : gebruik de definitie : als Lz = \lambda z(x) =: f(x) , dan is LaTeX .

Voor LaTeX : LaTeX

#7

Heezen

    Heezen


  • >250 berichten
  • 481 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 mei 2009 - 13:37

Yoralin, ;)
Ik ging snel richting huis fietsen om mn vorige post te wijzigen aangezien ik constant de fout maakte dat ( in jouw notatie z(x)) telkens 0 was. Zoiets bewijzen is natuurlijk heel erg triviaal.
Maar ook het echte bewijs wat je hebt geleverd is inderdaad maar twee regels.
Nog een punt: In het laatste regel komt de uitdrukking "L(G(x,xi)) " voor. In mn diktaat staat dat de operator gedefinieerd als LaTeX de inverse is van L, dus LaTeX . Gebruikmakend hiervan is de "<=" kant op zeer voor de hand liggend denk ik zo.
Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just fucked urself..
Correct me if I'm wrong.

#8

yoralin

    yoralin


  • >100 berichten
  • 194 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 mei 2009 - 13:47

>Gebruikmakend hiervan is de "<=" kant op zeer voor de hand liggend denk ik zo.

Als je die notatie hebt, is 't inderdaad korter. "Het is gekend dat R de inverse is" en "LaTeX " komen op 't zelfde neer.

#9

Heezen

    Heezen


  • >250 berichten
  • 481 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 mei 2009 - 21:13

Nog een ander vraagje:
Hoezo impliceert (*) dat de Greense functie uniek is? Is dit een direct gevolg van het alt. van Fredholm, of zijn er nog andere tussestappen?
Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just fucked urself..
Correct me if I'm wrong.

#10

yoralin

    yoralin


  • >100 berichten
  • 194 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 mei 2009 - 06:03

Ik zie het zo : als er twee zouden zijn, zeg G1 en G2, dan is
LaTeX
voor alle f(x) een oplossing van Lz = 0. Aangezien de kern triviaal is, is z = 0.
Die integraal moet dus 0 zijn voor alle (test)functies f, zodat G1 = G2.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures