Dan heb je 't alleen voor
\(\lambda = 0\)
bewezen. Vanaf "toon aan" gaat het niet meer over y = 0, maar over een willekeurige eigenfunctie. Wat men vraagt is :
Zij Ly = 0, y(a) = y(b) = 0 een homogeen randwaardeprobleem dat alleen de triviale oplossing y = 0 heeft (*).
Toon aan dat z dan en slechts dan een eigenfunctie bij de eigenwaarde
\(\lambda\)
is (dus
\(Lz(x) = \lambda\)
z(x)) als
\(z(x)= \lambda \int_{a}^{b}G(x,\xi)z(\xi)d \xi\)
,
met G de functie van Green (en deze G is uniek wegens (*)).
==
Oplossing : de functie van Green is zodanig dat de oplossing van Lz = f(x) gegeven wordt door
\(z(x)= \int_{a}^{b}G(x,\xi)f(\xi)d \xi\)
.
Voor
\(\Rightarrow\)
: gebruik de definitie : als Lz = \lambda z(x) =: f(x) , dan is
\(z(x)= \int_{a}^{b}G(x,\xi)f(\xi)d \xi = \lambda\int_{a}^{b}G(x,\xi)z(\xi)d \xi\)
.
Voor
\(\Leftarrow\)
:
\(Lz = L\left(\lambda \int_{a}^{b}G(x,\xi)z(\xi)d \xi\right) = \lambda \int_{a}^{b}L\left(G(x,\xi)\right)z(\xi)d \xi = \lambda \int_{a}^{b}\delta(x-\xi)z(\xi)d \xi = \lambda z(x).\)
