Springen naar inhoud

[wiskunde] binomium van newton


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Bekos

    Bekos


  • 0 - 25 berichten
  • 13 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 25 mei 2009 - 18:15

Dag iedereen,

We moeten een taak maken voor wiskunde over kansrekenen (binomium van Newton). 1 van de opgaven is:
Bewijs: (n boven p)= (n-1 boven p-1) + (n-2 boven p-1) + (n-3 boven p-1) + ... + (p boven p-1) + (p-1 boven p-1)

Ik heb de opgave al op meerdere manieren proberen op te lossen maar ik kom nooit uit. Ik zie misschien een eigenschap over het hoofd.
Ik begin meestal beide leden uit te werken door middel van het binomiaalcoŽfficiŽnt. Daarna heb ik al meerdere zaken geprobeerd zoals:

- Beide leden op 1 noemer zetten en dan de noemer weglaten. Het op 1 noemer zetten lukt maar dan raak ik niet meer verder. Ik eindig hierbij op: n!= p(n-1)! + p(n-p)(n-2)! + p(n-p)(n-p-1)(n-3)! + pp!(n-p)! + p!(n-p)!

- Het linkerlid veranderen van (n!) / (p!(n-p)!) in (n!) / (p(p-1)!(n-p)!). Daarna plaats ik de (p-1)! die in iedere noemer van het rechterlid buiten haakjes. De (p-1)! kan ik dan schrappen. Daarna raak ik niet verder.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

yoralin

    yoralin


  • >100 berichten
  • 194 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 mei 2009 - 18:37

LaTeX

#3

Bekos

    Bekos


  • 0 - 25 berichten
  • 13 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 25 mei 2009 - 18:48

(n! - p(n-1)!) / (p! (n-p)! )
Als het goed is. Ik zie echter niet in hoe dit mij verderhelpt. ;)

Veranderd door Bekos, 25 mei 2009 - 18:49


#4

yoralin

    yoralin


  • >100 berichten
  • 194 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 mei 2009 - 19:34

LaTeX

#5

Bekos

    Bekos


  • 0 - 25 berichten
  • 13 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 25 mei 2009 - 20:02

LaTeX


( (n-1)! (n-p) ) / ( p!(n-p)! ) = ( (n-1)! (n-p) ) / ( p! (n-p) (n-p-1)!) = (n-1)! / (p! (n-p-1)!) = (n-1 boven p)

Doe ik dit dan opnieuw voor de volgende term?

#6

yoralin

    yoralin


  • >100 berichten
  • 194 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 mei 2009 - 20:17

Juist.

LaTeX ,
maar
LaTeX kan je eveneens herschrijven (vervang hierboven n door n-1) enz.

#7

Bekos

    Bekos


  • 0 - 25 berichten
  • 13 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 25 mei 2009 - 20:43

Juist.

LaTeX

,
maar
LaTeX kan je eveneens herschrijven (vervang hierboven n door n-1) enz.


Ok ik denk dat ik het heb.

Ik heb het nog eens volledig uitgewerkt voor de volgende term waaruit bleek:
(n-1 boven p) - (n-2 boven p-1) = (n-2 boven p)

Het was dus telkens het bovenste gedeelte van de term na het minteken met p.
Bij de voorlaatste term zou dat dan het volgende worden:
(p+1 boven p) - (p boven p-1) = (p boven p) = 1
Als dan dit gelijk zou zijn aan de laatste term zou het juist zijn. En de laatste term is 1 (boven en onder hetzelfde). Daarmee is mijn bewijs af als het goed is.

Hartelijk bedankt voor de hulp!!! Ik ben blij dat ik het met jouw hints toch gevonden heb.

Nogmaals bedankt.

Bekos

#8

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 mei 2009 - 20:47

Klopt! Om het helemaal mooi te bewijzen kun je inductie gebruiken, maar ik vermoed dat jullie dat nog niet gezien hebben.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#9

Bekos

    Bekos


  • 0 - 25 berichten
  • 13 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 25 mei 2009 - 22:12

Klopt! Om het helemaal mooi te bewijzen kun je inductie gebruiken, maar ik vermoed dat jullie dat nog niet gezien hebben.


Er wordt inderdaad nog niet verwacht het via inductie op te lossen.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures