Springen naar inhoud

[wiskunde] gemengde integraal die me de keel begint uit te hangen!


  • Log in om te kunnen reageren

#1

JamesHarrison

    JamesHarrison


  • 0 - 25 berichten
  • 14 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 30 mei 2009 - 23:31

Hij lijkt op het eerste zicht niet zo moeilijk en ik zit op de een of andere manier echt zů dichtbij, maar ik heb hier al denk ik 10pagina's volgeschreven om deze oef opgelost te schrijven (met opnieuw te proberen weliswaar, zů lang is ze niet).

Het gaat om de integraal van de volgende uitdrukking: (4-x≤)wortel(4-x≤)

nu, ik zal hieronder even mijn uitwerking neerschrijven

kunnen jullie me dan aub vertellen waar het misgelopen is? bedankt :-)

Uitwerking:

Stel x = 2sint <=> t = Bgsin(x/2)
<=> dx = 2costdt
=> wortel(4-x≤) = 2cost

De integraal wordt dus de integraal van de volgende uitdrukking:

4cos≤t.2cost.2costdt

Int(4cos≤.2cost.2costdt)

= 16 Int(cos^4(t)dt)
= 6t + 4sin2t + sin2tcos2t + c
= 6(Bgsin(x/2)) + 8sintcost + 2sintcost(cos≤t - sin≤t) + c
= 6(Bgsin(x/2)) + 8sin(Bgsin(x/2))cos(Bgsin(x/2)) + 2sintcostcos≤t - 2sintcostsin≤t + c
= 6(Bgsin(x/2)) + 4xwortel(4-x≤) + 2sintcos≥t - 2sin≥tcost + c
= 6Bgsin(x/2)) + 4xwortel(4-x≤) + 2sin(Bgsin(x/2))cos≥(Bgsin(x/2)) - 2sin≥(Bgsin(x/2))cos(Bgsin(x/2)) + c


hierna wordt het allemaal heel erg ingewikkeld en haast onoverzichtelijk om te typen
maar, is dit de juiste weg?

bedankt nogmaals ;)

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 31 mei 2009 - 07:29

Probeer eens partiŽle integratie
LaTeX
enz.

#3

yoralin

    yoralin


  • >100 berichten
  • 194 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 mei 2009 - 07:37

Ik vind alvast ook 6t + 4sin(2t) + sin(2t)cos(2t) + c.

De eerste term herschrijven is evident : t = Bgsin(x/2).

Voor de resterende termen enkel x = 2 sin t gebruiken :

4 sin(2t) = (2 cos t)(2 sint ) = LaTeX en cos(2t) = 1-2sin2t = 1 - x2/2.

... of inderdaad partiŽle integratie gebruiken, dan heb je de verdubbelingsformules niet (of minder) nodig.

Veranderd door yoralin, 31 mei 2009 - 07:43


#4

English

    English


  • >100 berichten
  • 126 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 mei 2009 - 08:24

moet dat onder de wortel niet 4-x≤ zijn?

en partiŽle lukt me niet...

ik snap het echt niet meer, ik blijf altijd maar iets anders uitkomen pff

met partiŽle had ik dit:

cos≥tsint + 3int(sin≤tcos≤t)dt
= cos≥t + (3/8)x - (3/32)sin4t
= (4-x≤)wortel(4-x≤) + (3/8)x - (3/32)2sin2tcos2t

daarna wordt het allemaal veel te ingewikkeld, en uitgewerkt geeft het me ook niet de juiste uitkomst...

#5

JamesHarrison

    JamesHarrison


  • 0 - 25 berichten
  • 14 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 31 mei 2009 - 08:25

moet dat onder de wortel niet 4-x≤ zijn?

en partiŽle lukt me niet...

ik snap het echt niet meer, ik blijf altijd maar iets anders uitkomen pff

met partiŽle had ik dit:

cos≥tsint + 3int(sin≤tcos≤t)dt
= cos≥t + (3/8)x - (3/32)sin4t
= (4-x≤)wortel(4-x≤) + (3/8)x - (3/32)2sin2tcos2t

daarna wordt het allemaal veel te ingewikkeld, en uitgewerkt geeft het me ook niet de juiste uitkomst...


edit: sorry, m'n broer zijn account stond nog ingelogd blijkbaar. Ik zal er in het vervolg aan proberen denken

#6

yoralin

    yoralin


  • >100 berichten
  • 194 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 mei 2009 - 08:46

(moest inderdaad een minteken zijn) Via P.I. : de

LaTeX , dus

LaTeX

Vervolgens kan je cos2t op dezelfde manier (zonder verdubbelingsformules !) integreren
LaTeX , dus 2J = ...

Veranderd door yoralin, 31 mei 2009 - 08:58


#7

JamesHarrison

    JamesHarrison


  • 0 - 25 berichten
  • 14 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 31 mei 2009 - 09:12

Ik heb gevraagd wat je hebt gedaan, maar ben toch nog op het einde verward waar ik de term 6t zou moeten kunnen terugvinden. Tenzij je natuurlijk iets anders dan cos^4(t)dt hebt partieel geÔntegreerd?

Dus:

2I = cos≥tsint + int(cos≤t)

J = int(cos≤t)dt
= costsint + int(sin≤tdt)
= costsint + int(1-cos≤tdt)
= costsint + intdt - intcos≤tdt
= costsint + t - intcos≤dt

<=> 2J = costsint +t
<=> J =(1/2)[costsint + t]

<=> 2I = cos≥sint + (1/2)[costsint+t]
<=> I = (1/2)[cos≥sint + (1/2)[costsint + t]]

Maar dan? Vind ik door dit uit te werken de factor 6t nog terug?

#8

yoralin

    yoralin


  • >100 berichten
  • 194 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 mei 2009 - 09:23

Aargh, ik was een factor 3 vergeten :

LaTeX , dus LaTeX

Nu zijn wel cos4t aan 't integreren; aanvankelijk had je voor 16cos4t een 6t, nu gaan we bij t een 6/16 = 3/8 vinden, en dat komt juist uit (1/4 van bij I, 1/2 bij J en de 3 die ik kwijtgespeeld was).

#9

JamesHarrison

    JamesHarrison


  • 0 - 25 berichten
  • 14 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 31 mei 2009 - 09:36

Nog eens zien wat ik daarmee heb gevonden:

I = cos≥tsint + 3int(cos≤t) - 3intcos^4tdt

4I = cos≥tsint + 3int(cos≤t)dt

I = (1/4)[cos≥tsint + 3int(cos≤t)]dt


J = 3 int(cos≤t)dt

J = 3costsint + 3int(dt) - 3int(cos≤tdt)

6J = 3costsint + 3t

J = (1/2)costsint + (1/2)t

<=> I = (1/4)cos≥tsint + (1/8)cos≥tsint + (1/8)t

Lap, geen 3/8 zoals ik volgens jou zou moeten uitkomen... Fout in mijn uitwerking? ):

#10

yoralin

    yoralin


  • >100 berichten
  • 194 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 mei 2009 - 10:50

Als je J = 3 int(cos≤t)dt neemt, moet 't twee lijnen verder 2J i.p.v. 6J zijn.

(Ik rekende met J = int(cos≤t)dt = t/2 + ... en die invullen in I gaf (1/4).3.(1/2) = 3/8.)

#11

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2463 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 mei 2009 - 12:03

Een andere manier om de integraal te vinden is de volgende: uit cos 2t = 2cos≤t-1 volgt: cos≤2t = (2cos≤t-1)≤ = 4cos4t-4cos≤t+1
= 4cos4t-2cos 2t-1. Omdat cos≤2t = Ĺcos 4t+Ĺ vinden we dus: Ĺcos 4t+Ĺ = 4cos4t-2cos 2t-1, dus 4cos4t = Ĺcos 4t+Ĺ+2cos 2t+1, dus 4cos4t = Ĺcos 4t+2cos 2t+1Ĺ, dus LaTeX .

Veranderd door mathreak, 31 mei 2009 - 12:03

"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures