Springen naar inhoud

[wiskunde] matrix


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Luuk1

    Luuk1


  • >100 berichten
  • 200 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 juni 2009 - 19:47

Hoi,

de vraag is als volgt: Breng de onderstaande matrices op reele normaalvorm. Geef ook de transformatiematrix.

1.

LaTeX

2.

LaTeX

---------------------------------------------------------------------------------------------------------
1.
De matrix heeft eigenwaarde 2 met multipliciteit twee en de dimensie van de eigenruimte is 1. Door gebruik te maken van gegeneraliseerde eigenvectoren vind ik een tweede vector om de Jordannormaalvorm te vinden:

LaTeX

met transformatiematrix

LaTeX

zodat geldt dat T-1AT = J (ik heb dit alles nagerekend met de computer en het klopt).

2.
De matrix heeft complexe eigenwaarden: -2 +/- 2i en heeft dus twee onafhankelijke eigenvectoren, dit geeft de normaalvorm:

LaTeX

en transformatiematrix:

LaTeX

zodat geldt T-1BT = N. Ook dit moet kloppen volgens mij, maar hier zie ik toch een aantal problemen.

Allereerst stond in de vraag 'reele normaalvorm', maar dit is niet reeel. Verder stel dat ik bij matrix B rij 1 bij rij 2 optel dan krijg ik:

LaTeX

Dit heeft dan plotseling andere eigenwaarden. Voor zover ik me kon herinneren maakt het optellen van rijen geen verschil voor de eigenwaarden van een matrix?

=============================================================
Dan was nog de opdracht om exp(J) uit te rekenen, waar J de normaalvorm is van de matrix gevonden bij 1. Ik weet dat de Jordannormaalvorm dit makkelijker maakt, maar ik kan toch nog steeds geen expliciet antwoord geven? Ik bedoel, ik krijg dan een oneindige somrij aangezien J^n niet naar 0 congeveert... ?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

yoralin

    yoralin


  • >100 berichten
  • 194 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 juni 2009 - 20:23

Bij 2 : Is de reŽle normaalvorm van een matrix met eigenwaarden a+/-bi niet LaTeX ?

Verder stel dat ik bij matrix B rij 1 bij rij 2 optel dan krijg ik (..) Dit heeft dan plotseling andere eigenwaarden.

Waarom zouden ze dezelfde eigenwaarden moeten hebben ? T-1BT heeft dezelfde eigenwaarden als B.
Rij 1 bij rij 2 optellen is rechts vermenigvuldigen met LaTeX . Dat is geen basisverandering.

Dan was nog de opdracht om exp(J) uit te rekenen

Vind een formule voor Jn, zeg Jn = LaTeX , waarbij je a(n) nog kan bepalen (doe dit!).
Dan is LaTeX met LaTeX

(Edit : Jn/n! zal naar 0 convergeren.)

Veranderd door yoralin, 01 juni 2009 - 20:30


#3

Luuk1

    Luuk1


  • >100 berichten
  • 200 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 juni 2009 - 22:03

Hoi Yoralin,

Ik zou zeggen dat een rij bij een rij optellen niets aan de kenmerken van de matrix mag veranderen? Ik bedoel ze zijn rijequivalent en dus verandert de determinant ook niet?

Ik snap eigenlijk ook niet zo goed hoe J^n zou moeten convergeren.. Ik snap hoe je de exp(2) termen krijgt, maar ik zou niet inzien hoe A(n) zou convergeren eerllijk gezegd, want in J^2 is a(n) = 4 in J^3, a(n) = 12, in J^4 a(n) = 32

ik zou niet weten hoe dit dan zou moeten convergeren, aangezien ik er geen c^n uit kan halen.

Hoe kom je aan die reeele normaalvorm dan?

sorry dat ik het nog niet zo snap.. ik ben er nu al lang mee bezig, maar zie het nog niet

#4

Luuk1

    Luuk1


  • >100 berichten
  • 200 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 juni 2009 - 23:16

Ik heb toch nog gevonden dat:

a(n) = (n-2) * 2n-2 + 2n

ik zal morgen eens kijken naar de limiet voor A

Ik heb toch nog een formule voor a(n) kunnen vinden:

a(n) = (n-2) * 2n-2 + 2n

Ik zal morgen eens kijken naar de limiet voor A

#5

yoralin

    yoralin


  • >100 berichten
  • 194 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 juni 2009 - 05:50

Eerst een correctie : rij 1 bij rij 2 optellen is rechts vermenigvuldigen met LaTeX . Bij "rij 1 bij rij 2 optellen" verandert 't spoor.

a(n) = (n-2) * 2n-2 + 2n

Fout : a(1) moet = 1, a(2) = 4 zijn.
Verborgen inhoud

LaTeX
LaTeX met a1 = 1.
Verborgen inhoud
an = n 2n-1



Hoe kom je aan die reeele normaalvorm dan?

Meetkundig : a+bi = r(cos phi + i sin phi) is de samenstelling van r.Id en de rotatie met hoek phi. De matrices van de vorm
LaTeX geven een model voor LaTeX .
Die matrix heeft eigenwaarden a +/- bi.
(Cfr. "Eigenvalue" op Wikipedia(en) bij 'Rotation matrices on complex vector spaces')





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures