Een vierkante matrix A kan ontbonden worden als
\(A=PDP^{-1}\)
, waar de kolommen van \(P\)
eigenvectoren van \(A\)
zijn, en waar \(D\)
diagonaal is. Indien A symmetrisch is, wordt het nog mooier: je kan
\(P\)
orthogonaal kiezen. Laat ons de gedachten vestigen op het 3x3-geval. Dan zie je dat de 6 onafhankelijke componenten van de A netjes vertaald zijn in de formule: 3 vrijheden in de diagonaalmatrix, 3 vrijheden in de orthogonale matrix. Ik wil graag, voor een algemene 3x3 matrix A, een ontbinding
\(A=O_1DO_2\)
, waarbij de \(O\)
-matrices orthogonaal zijn. De 9 onafhankelijke componenten zijn nu democratisch verdeeld over de 3 matrices: elke matrix heeft 3 onafhankelijke componenten. Dit rekensommetje klopt ook voor een nxn-matrix (het is dan niet meer democratisch). Dus vermoedelijk kan je de vermelde ontbinding steeds doen. Kan dat bewezen worden?
, je hebt gelijk. De ontbinding die ik zoek is gewoon de reële singuliere waarden decompositie. Ik herinner me nu ook dat het bewijs daarvan geavanceerder is dan 2 lijntjes triviale berekeningen. Bedankt!