Springen naar inhoud

[wiskunde] aantal oplossingen voor de waarde(n) van a


  • Log in om te kunnen reageren

#1

AloSchA

    AloSchA


  • 0 - 25 berichten
  • 10 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 juni 2009 - 12:15

Hey,

Ik heb een moeilijke opgave en ik geraak er niet uit :P . De vraag gaat als volgt:

Voor welke waarde(n) van a (a behoort tot R) heeft het volgende stelsel (onbekenden x en y)
a) 1 oplossing
b) ;) oplossingen
c) geen oplossing

2x + ay = 5
x - y = a


Ik heb de grafieken van y = ... al geplot en ik kwam tot de conclusie dat oneindig veel oplossingen enkel mogelijk is als de 2 grafieken samenvallen. En dat is in dit geval niet mogelijk.
Geen oplossingen is als de grafieken evenwijdig lopen en ik vermoed dat dat voor a = -2 is.
En 1 oplossing is wanneer de 2 grafieken elkaar snijden. En dat is altijd buiten wanneer a = -2.

Met een grafiek plotter kan je wel gissen. Maar hoe kan ik het stelsel algebraisch oplossen. Of hoe moet ik alles interpreteren?

Mvg.

P.S.: Dit is een vraag uit het ingangsexamen van de KMS.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 juni 2009 - 12:22

Uit de tweede vergelijking volgt alvast x = y+a, als je dit in de eerste gebruikt, krijg je:

2x + ay = 5
2(y+a) + ay = 5
y = (5-2a)/(a+2)

Uit x = y+a volgt ook de bijbehorende x-waarde; dit levert je een unieke oplossing als functie van de parameter a. Je ziet dat dit alleen geldt voor x verschillend van -2, dat geval kan je apart nagaan (vertrek van het oorspronkelijk stelsel en vervang a door -2).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

AloSchA

    AloSchA


  • 0 - 25 berichten
  • 10 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 juni 2009 - 12:33

Dus je bekomt: y = (5-2a)/(a+2)
Dit is een rationale functie met domein = R \ {-2}.

Hoe moet ik die -2 interpreteren?

Ik vermoed dat er in -2 geen oplossingen zijn. Ik heb dit ook anders berekend. Je vertrekt van:

y = (-2/a)x + (5/a) en y = x - a

=> Twee functies zijn evenwijdig, en hebben dus geen oplossingen, als hun richtingscoefficienten gelijk zijn, in dit geval:
(-2/a) = 1
<=> a = -2

Maar hoe weet ik wanneer er 1 oplossing of ;) oplossingen zijn?
Klopt mijn uitleg?

Mvg.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 juni 2009 - 12:58

Hoe moet ik die -2 interpreteren?

Dat deze oplossing alvast niet geldt voor a=-2. Daarom moet je dat geval apart onderzoeken.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

AloSchA

    AloSchA


  • 0 - 25 berichten
  • 10 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 juni 2009 - 13:28

2x -2y = 5
x - y = -2

Als we de vergelijking gelijkstellen aan x, krijgen we:
x = (5 + 2y) / 2
x = -2 + y

Dus:
(5 + 2y) / 2 = -2 + y
<=> 5 + 2y = -4 + 2y
<=> 5 + 4 + 2y - 2y = 0
<=> 9 = 0

---

Als we de evrgelijking gelijkstellen aan y, krijgen we:
y = (5 - 2x) / -2
y = x + 2

Dus:
(5 - 2x) / -2 = x + 2
<=> 5 - 2x = -2x - 4
<=> 5 + 4 -2x + 2x = 0
<=> 9 = 0

Hmmm, ik snap het niet echt...

Ik vermoed dat:
Als a = -2, dan zijn er geen oplossingen.
Als a = R \ {-2}, dan zijn is er telkens 1 oplossing.
Er zijn geen waarden voor a, zodat er oneindig veel oplossingen zijn.

Kloppen mijn antwoorden?

Mvg.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 juni 2009 - 13:48

2x -2y = 5
x - y = -2

Deel beide leden van de eerste vergelijking door 2, dan staat er x-y=5/2, maar volgens de tweede vergelijking is x-y = -2, dus strijdig: er zijn in dit geval geen oplossingen.

Ik vermoed dat:
Als a = -2, dan zijn er geen oplossingen.
Als a = R \ {-2}, dan zijn is er telkens 1 oplossing.
Er zijn geen waarden voor a, zodat er oneindig veel oplossingen zijn.

Kloppen mijn antwoorden?

Dat klopt dus.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

AloSchA

    AloSchA


  • 0 - 25 berichten
  • 10 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 juni 2009 - 14:22

Een ander stelsel:
ax + y = 5
-4x - ay = 1

Ik bekom na berekening de rationale functie: y = (-5a - 1) / (4 - a^2)
Het dom = R \ {-2 ; 2}

Dus ik concludeer:
Er is oplossing als a = R \ {-2 ; 2}.
Er zijn geen oplossingen als a = 2 of als a = -2.
Er zijn geen waarden voor a, zodanig dat er oneindig veel oplossingen zijn.

Ben ik correct?

Mvg.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 juni 2009 - 14:34

Dus ik concludeer:
Er is oplossing als a = R \ {-2 ; 2}.
Er zijn geen oplossingen als a = 2 of als a = -2.
Er zijn geen waarden voor a, zodanig dat er oneindig veel oplossingen zijn.

Dit klopt, maar dat kan je niet zomaar concluderen uit alleen jouw bovenstaande berekening.
Voor a=2 en a=-2 moet je het stelsel apart onderzoeken - maar dat heb je misschien gedaan?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

AloSchA

    AloSchA


  • 0 - 25 berichten
  • 10 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 juni 2009 - 14:43

Als ik voor a = 2 neem, dan krijg ik:
2x + y = 5
-4x - 2y = 1
<=>
(2x + y) * (-2) = (5) * (-2)
-4x - 2y = 1
<=>
-4x - 2y = -10
-4x - 2y = 1

Dus: stelsel is vals voor a = 2.
Hetzelfde geldt voor a = -2 (we moeten dan "-2x + y = 5" vermeniguldigen met 2).

Dus er zijn geen oplossingen voor a = 2 en a = -2.

Bedoel je dit?

Ik weet nu wanneer er geen oplossingen zijn.
Maar hoe zal het stelsel met 1 parameter en 2 onbekenden eruit zien als er 1 oplossing is. En als er oneindig oplossingen zijn?

Mvg.

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 juni 2009 - 14:46

Dus er zijn geen oplossingen voor a = 2 en a = -2.

Bedoel je dit?

Inderdaad, je moet dat apart nagaan.

Maar hoe zal het stelsel met 1 parameter en 2 onbekenden eruit zien als er 1 oplossing is. En als er oneindig oplossingen zijn?

Je hebt toch al twee voorbeelden waarbij er voor bepaalde waarden van a een unieke oplossing is (in functie van a)? Strijdig heb je ook al. Oneindig veel oplossingen kan je bekomen wanneer voor bepaalde waarden van a, de twee vergelijkingen veelvouden zijn van elkaar (lineair afhankelijk): er valt er dan een weg zodat je nog maar een vergelijking in twee onbekenden hebt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

AloSchA

    AloSchA


  • 0 - 25 berichten
  • 10 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 juni 2009 - 15:06

Ik bedoel eigenlijk hoe ik kan zien wanneer het stelsel met parameter a 1 oplossing heeft.
Ik denk dat het meestal a = R \ {waarden die geen oplossing hebben}.

Voor geen oplossingen snap ik het. De grafieken lopen evenwijdig en het stelsel is vals voor een bepaalde waarde van a.

En voor oneindig oplossingen. Klopt het als ik zeg dat de twee grafieken samen moeten vallen?

Kan je mij een voorbeeld geven van een stelsel met oneindig veel oplossingen?

Mvg.

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 juni 2009 - 15:08

Ik bedoel eigenlijk hoe ik kan zien wanneer het stelsel met parameter a 1 oplossing heeft.
Ik denk dat het meestal a = R \ {waarden die geen oplossing hebben}.

Je "ziet" dat niet, je berekent dat. Of bedoel je wat dat meetkundig voorstelt? Dan zijn het voor zo'n lineair stelsel van twee onbekenden, twee snijdende rechten (de unieke oplossing is dan het snijpunt).

Voor geen oplossingen snap ik het. De grafieken lopen evenwijdig en het stelsel is vals voor een bepaalde waarde van a.

En voor oneindig oplossingen. Klopt het als ik zeg dat de twee grafieken samen moeten vallen?

Inderdaad.

Kan je mij een voorbeeld geven van een stelsel met oneindig veel oplossingen?


LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

AloSchA

    AloSchA


  • 0 - 25 berichten
  • 10 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 juni 2009 - 15:28

Ah, bedankt. Ik denk dat ik het nu snap.

De vergelijkingen zijn dus veelvouden van elkaar, en zo heb je oneindig veel oplossingen. Want in je voorbeeld moet je de eerste vergelijking vermenigvuldigen met (-2).

Euhm... Heeft deze stelsel oneindig veel oplossingen voor een bepaald waarde van a?

a^2x - y = 0
ax - y = 0

Als ik dit dan uitwerk, dan bekom ik:
Oneindig veel oplossingen (meetkundig: de grafieken vallen samen) voor a = 0 en a = 1.
Er is 1 oplossing voor alle waarden van a buiten a = 0 en a = 1.
Er zijn geen waarden voor a zodat er geen oplossingen zijn.

---

x - y = 2a
x - y = a

Als ik dit uitwerk, dan bekom ik:
Oneindig veel oplossingen voor a = 0.
Er zijn geen waarden voor a zodat er 1 oplossing is (de twee grafieken lopen evenwijdig).
Er zijn geen oplossingen voor alle waarden van a buiten a = 0.

Als dit klopt, dan mag dit topic gesloten worden. Ik bedank je voor je hulp, tijd en aandacht.

Mvg, Aloscha

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 juni 2009 - 15:47

Euhm... Heeft deze stelsel oneindig veel oplossingen voor een bepaald waarde van a?

a^2x - y = 0
ax - y = 0

Als ik dit dan uitwerk, dan bekom ik:
Oneindig veel oplossingen (meetkundig: de grafieken vallen samen) voor a = 0 en a = 1.
Er is 1 oplossing voor alle waarden van a buiten a = 0 en a = 1.
Er zijn geen waarden voor a zodat er geen oplossingen zijn.

De nuloplossing is alvast altijd een oplossing.
Voor a=0 en a=1 heb je inderdaad oneindig veel oplossingen (welke?).

x - y = 2a
x - y = a

Als ik dit uitwerk, dan bekom ik:
Oneindig veel oplossingen voor a = 0.
Er zijn geen waarden voor a zodat er 1 oplossing is (de twee grafieken lopen evenwijdig).
Er zijn geen oplossingen voor alle waarden van a buiten a = 0.

Klopt.

Als dit klopt, dan mag dit topic gesloten worden. Ik bedank je voor je hulp, tijd en aandacht.

We houden de topics hier gewoon open ;)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures