[wiskunde] differentiaalvgl 2de orde

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Gebruikersavatar
Berichten: 846

[wiskunde] differentiaalvgl 2de orde

Hey!

ik ben bezig met volgende oefeningen
\(x^2y'' -4xy' +6y = x^3\)
met
\(y_1 = x^2\)
om
\(y_2\)
te vinden moet ik dus verlagen in orde en dus

eerst vermenigvuldigen
\(y_1\)
met een onbekende functie
\(y_2 = v(x) \cdot y_1 \rightarrow y_2 = v(x) \cdot x^2\)
\(y'_2 = v'\cdot x^2 + v\cdot 2x\)
\(y''_2 = v''\cdot x^2 + v' \cdot 2x + v'\cdot 2x + v \cdot 2\)
\(y''_2 = x^2 \cdot v'' + 4x \cdot v' + 2v\)
tot nu toe ben ik nog mee, maar het volgende snap ik toch niet

in m'n notitie's staat dat de volgende stap dit wordt:
\(x^4 \cdot v'' + 4x^3 \cdot v' + 2x^2 v - 4 x^3 \cdot v' - 8x^2 v + 6x^2 v = 0\)
kan er mij iemand uitleggen hoe je hierbij komt??

ps.: wat ik ook niet snap is.. er staat hier bij de uitleg

'ofwel p(x), q(x) GEEN constanten uit y1 -> bereken y2 met verlaging van de orde

ofwel p(x),q(x) WEL constanten karakteristieke vergelijking -> y1, y2 yh = C1 y1 + C2 y2'

kan er mij iemand dit uitleggen? wil dit gewoon zeggen of die y1 en y2 al bekend zijn of niet?

thx!
Steun de wetenschap en het forum en versterk ons boinc team! - voor meer info kijk op de hoofdpagina onder 'distributed computing'



"The beginning of knowledge is the discovery of something we do not understand" - Frank Herbert (1920-1986)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] differentiaalvgl 2de orde

RaYK schreef:
\(y_2 = v(x) \cdot y_1 \rightarrow y_2 = v(x) \cdot x^2\)
\(y'_2 = v'\cdot x^2 + v\cdot 2x\)
\(y''_2 = v''\cdot x^2 + v' \cdot 2x + v'\cdot 2x + v \cdot 2\)
\(y''_2 = x^2 \cdot v'' + 4x \cdot v' + 2v\)
tot nu toe ben ik nog mee, maar het volgende snap ik toch niet

in m'n notitie's staat dat de volgende stap dit wordt:
\(x^4 \cdot v'' + 4x^3 \cdot v' + 2x^2 v - 4 x^3 \cdot v' - 8x^2 v + 6x^2 v = 0\)
Vervang in de oorspronkelijke differentiaalvergelijking, y door y2 (en dus ook y' door de y2' en y'' door y2'' die je net berekend hebt).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 846

Re: [wiskunde] differentiaalvgl 2de orde

bedankt.. heb je een idee wat ze met dat 2de bedoelen?
Steun de wetenschap en het forum en versterk ons boinc team! - voor meer info kijk op de hoofdpagina onder 'distributed computing'



"The beginning of knowledge is the discovery of something we do not understand" - Frank Herbert (1920-1986)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] differentiaalvgl 2de orde

RaYK schreef:'ofwel p(x), q(x) GEEN constanten uit y1 -> bereken y2 met verlaging van de orde

ofwel p(x),q(x) WEL constanten karakteristieke vergelijking -> y1, y2 yh = C1 y1 + C2 y2'
Je moet daarvoor de standaardvorm geven van de vergelijking zoals je cursus die gebruikt, ik vermoed dat p(x) en q(x) de coëfficiënten zijn van bijvoorbeeld y' en y wanneer opgelost werd naar y''? Als die coëfficiënten constant zijn, kan je de differentiaalvergelijking op een eenvoudigere manier oplossen (namelijk met de karakteristieke vergelijking van de homogene differentiaalvergelijking, enzovoort) - in het algemeen (p en q niet constant), moet je blijkbaar de techniek van verlaging van orde (zoals hier) toepassen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 846

Re: [wiskunde] differentiaalvgl 2de orde

jup y'' + p(x) y' + q(x) = g(x)

en met constant zijnde bedoelen ze dus geen variabelen..
Steun de wetenschap en het forum en versterk ons boinc team! - voor meer info kijk op de hoofdpagina onder 'distributed computing'



"The beginning of knowledge is the discovery of something we do not understand" - Frank Herbert (1920-1986)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] differentiaalvgl 2de orde

Die functies p en q zijn hoogstens functies van x, ik vermoed zelfs dat ze hier veeltermen bedoelen...

Het bijzonder geval van de constante veeltermen, zijn constante coëfficiënten, dus p(x)=c en q(x)=d.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 846

Re: [wiskunde] differentiaalvgl 2de orde

even verder met die opgave..

ik had dus
\(x^4 \cdot v'' + 4x^3 \cdot v' + 2x^2 v - 4 x^3 \cdot v' - 8x^2 v + 6x^2 v = 0\)
hier kan worden geschrapt dat ik nog dit over heb:
\(x^4 v'' = x^3\)
\(v'' = \frac{1}{x}\)
\(v' = \ln(x)\)
wat doe ik hier mis? in de oplossingen komen ze voor y2 = x^3 uit maar als ik hier die ln nog eens integreer kom ik alles behalve x^3 uit :s
Steun de wetenschap en het forum en versterk ons boinc team! - voor meer info kijk op de hoofdpagina onder 'distributed computing'



"The beginning of knowledge is the discovery of something we do not understand" - Frank Herbert (1920-1986)

Berichten: 194

Re: [wiskunde] differentiaalvgl 2de orde

Met dat voorstel zoek je een tweede oplossing van de homogene diff.vgl. ("als er rechts een 0 staat") :

x4v'' = 0, dus v'' = 0, v' = c1, v = c1x+c2.

De algemene oplossing van de homogene diff.vgl. is dus (c1x+c2)x2 = c1x2+c2x3.

x2 kende je al, voor y2 kan je x3 nemen.

Gebruikersavatar
Berichten: 846

Re: [wiskunde] differentiaalvgl 2de orde

\(y_h = C_1 \cdot x^2 + C_2 \cdot x^3\)
\(y_p = C_1(x) \cdot x^2 + C_2(x) \cdot x^3\)
adhv van cramer heb ik dan dat stelsel opgelost
\(C'_1 = -x \rightarrow C_1 = -\frac{x^2}{2}\)
\(C'_2 = 1 \rightarrow C_2 = x\)
\(y_p = -\frac{x^2}{2}\cdot x^2 + x \cdot x^3 = -\frac{x^4}{2} + x^4\)
\(y = C1 \cdot x^2 + C2 x^3 - \frac{x^4}{2}+x^4\)
de oplossing in het boek is
\(C_1 \cdot x^2 + C_2 \cdot x^3 + x^3(ln(x)-1)\)
wat doe ik hier dan mis in die berekening van die particuliere dat die uitkomst volledig anders is??
Steun de wetenschap en het forum en versterk ons boinc team! - voor meer info kijk op de hoofdpagina onder 'distributed computing'



"The beginning of knowledge is the discovery of something we do not understand" - Frank Herbert (1920-1986)

Berichten: 194

Re: [wiskunde] differentiaalvgl 2de orde

Met dat voorstel zoek je een tweede oplossing van de homogene diff.vgl. ("als er rechts een 0 staat") :
Hm, blijkbaar niet. Via ordeverlaging kan je de algemene oplossing van de opgave meteen vinden :

v'' = 1/x, dus v' = ln|x| + c2,

v = c2x + (int van ln|x|) = c2x + (xln|x| - x + c1).

Als je eerst de homogene oplost en dan variatie van de constanten gebruikt, y_p = C1(x)y1 + C2(x)y2

is 't beter dat je de opgave eerst herschrijft naar de vorm

y'' - (4/x)y'+(6/x2)y = x, dus zorgen dat er bij y'' geen extra factor staat.

In je stelsel van Cramer moet je met dat rechterlid x rekenen (en niet met x3).

Gebruikersavatar
Berichten: 846

Re: [wiskunde] differentiaalvgl 2de orde

ok bedankt yoralin, nu kom'k uit ;)
Steun de wetenschap en het forum en versterk ons boinc team! - voor meer info kijk op de hoofdpagina onder 'distributed computing'



"The beginning of knowledge is the discovery of something we do not understand" - Frank Herbert (1920-1986)

Gebruikersavatar
Berichten: 846

Re: [wiskunde] differentiaalvgl 2de orde

nieuwe opgave:
\(x^2y'' - 3xy' + 4y = x^4 met y_1 = x^2\)
homogene heb ik al opgelost en kom ik uit
\(y_h = C_1\cdot x^2 + C_2 \cdot x^2 \cdot \ln(x)\)
particuliere:
\(y_p = C_1(x) \cdot x^2 + C_2(x) \cdot x^2 \cdot \ln(x)\)
stelsel:
\(y_p = C'_1 \cdot x^2 + C'_2 \cdot x^2 \cdot \ln(x) = 0\)
\(y_p = C'_1 \cdot 2x + C'_2 \cdot 2x\cdot \ln(x) + x = x^2\)
ik kom uit
\(C'_1 = \frac{-x^4 \ln(x)}{2x^3\ln(x)+x^3-2x\cdot \ln(x)}\)
\(C'_2 = \frac{x^4}{2x^3\cdot \ln(x) + x^3 - 2x \cdot \ln(x)}\)


kan dit kloppen? als ik dit wil uitrekenen kom ik integralen uit met x/ln(x) .. :s
Steun de wetenschap en het forum en versterk ons boinc team! - voor meer info kijk op de hoofdpagina onder 'distributed computing'



"The beginning of knowledge is the discovery of something we do not understand" - Frank Herbert (1920-1986)

Berichten: 194

Re: [wiskunde] differentiaalvgl 2de orde

Einde van de noemers is fout : - 2x * (x2 ln x) = - 2 x3 ln x

Gebruikersavatar
Berichten: 846

Re: [wiskunde] differentiaalvgl 2de orde

ahja ik zie al wat ik mis gedaan heb..

maar uiteindelijk zit ik dan wel nog altijd met
\(C_2 = \frac{1}{2} \int \frac{x}{\ln(x)}dx + ... \)
geen idee hoe je zo'n integraal oplost :s
Steun de wetenschap en het forum en versterk ons boinc team! - voor meer info kijk op de hoofdpagina onder 'distributed computing'



"The beginning of knowledge is the discovery of something we do not understand" - Frank Herbert (1920-1986)

Berichten: 194

Re: [wiskunde] differentiaalvgl 2de orde

Die integraal kan je niet oplossen met 'elementaire' functies, maar

C2'(x) = x; hoe kom je aan die ln in de noemer ??

Reageer