Springen naar inhoud

Algebra opgave.


  • Log in om te kunnen reageren

#1

thrm

    thrm


  • >25 berichten
  • 26 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 09 juni 2009 - 08:58

Bepaal de rest bij deling van 11^(345^678) door 13.

Deze opgave staat in een oud tentamen. Helaas zijn er hiervoor geen antwoordbladen beschikbaar en kom ik er ook zelf niet uit. Kan iemand me even helpen? Het struikelblok voor mij is vooral dat je die macht 345 eerst nog met een macht 678 moet doen voordat je modulo 13 kan rekenen.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 09 juni 2009 - 10:32

Volgens Fermat geeft
LaTeX rest 1 bij deling door 13.

Nu wil ik LaTeX schrijven als LaTeX met LaTeX .
Dan is de uitkomst de rest van LaTeX bij deling door 13.
We kijken dus eerst wat de rest is van LaTeX bij deling door 12.
345/12 geeft rest 9.
Het is eenvoudig na te gaan dat de laatste 2 cijfers van 345^k-9 zijn 16 voor k>1.
Dan is 345^k-9 is deelbaar door 9 voor k>0.
Dus geeft LaTeX rest 9 bij deling door 12.


LaTeX

#3

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 juni 2009 - 10:43

Zie ook de stelling van Euler.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#4

oktagon

    oktagon


  • >1k berichten
  • 4502 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 09 juni 2009 - 10:43

Het enigste wat ik kan concluderen is dat elke machtsverheffing van 11 eindigt op 1 (11,121,1331,14641);mogelijk zit er verschil in restdeling bij een even en oneven exponent en hier is een oneven exponent (de eerste 345?)

#5

el simono

    el simono


  • >25 berichten
  • 43 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 09 juni 2009 - 19:22

ik zou het ook met de indicator van euler doen...

#6

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 09 juni 2009 - 21:03

Onzin.
Gebruik de kleine stelling van Fermat.

#7

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 juni 2009 - 21:32

De kleine stelling van Fermat volgt uit de stelling van Euler, dus verkies ik PeterPans methode boven de door el simono en mij voorgestelde.

Veranderd door Klintersaas, 09 juni 2009 - 21:32

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#8

el simono

    el simono


  • >25 berichten
  • 43 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 10 juni 2009 - 06:36

waarom zou kiezen voor hetgeen dat uitvloeit boven hetgeen waaruit het wordt afgeleid?
De kleine stelling van Fermat is trouwes -vind ik- moeilijker te bewijzen dan de manier van euler...
Euler bewijzen is overzichtelijker :-)

#9

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 10 juni 2009 - 08:17

Als ik een vierkant teken, en je noemt het een parallellogram, dat heb je formeel genomen gelijk,
maar de benaming vierkant zegt veel meer over het getekende object dan de benaming parallellogram.
Noem het object bij zijn echte naam.

In dit probleem maak je gebruik van de kleine stelling van Fermat. Als je zegt dat je de stelling van Euler gebruikt, dan heb je formeel genomen gelijk,
maar de benaming 'stelling van Fermat' zegt veel meer over de gebruikte methode dan de benaming 'stelling van Euler'.
Noem de stelling bij zijn echte naam.

De stelling van Fermat is vele jaren eerder gevonden dan de stelling van Euler dat er een generalisatie van is.
De kleine stelling van Fermat is simpel te bewijzen, terwijl de stelling van Euler conseptueel veel ingewikkelder is, en het bewijs ervan is geenszins een trivialiteit.

Bewijs van de kleine stelling van Fermat:
Als je een getal deelt door priemgetal LaTeX dan zijn er precies LaTeX resten mogelijk.
Ik geeft 2 rijtjes getallen van LaTeX getallen die allen een verschillende rest geven:
1,2,3,4,...,p-1 en
a,2a,3a,...,(p-1)a (waarbij a een willekeurig getal is niet deelbaar door p.)
Dan zijn het product van die resten aan elkaar gelijk en geven het product van de getallen uit die rijtjes dezelfde rest bij deling door p. En daaruit volgt de stelling.

#10

thrm

    thrm


  • >25 berichten
  • 26 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 10 juni 2009 - 09:05

LaTeX

Het moet toch gewoon
LaTeX zijn aan het eind? Je rekent modulo 12 voor de macht LaTeX , maar voor de som zelf toch niet meer??

#11

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 10 juni 2009 - 10:55

ja, een klein foutje ;) .

#12

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 10 juni 2009 - 12:26

Volgens Fermat geeft
LaTeX

rest 1 bij deling door 13.

Nu wil ik LaTeX schrijven als LaTeX met LaTeX .
Dan is de uitkomst de rest van LaTeX bij deling door 13.
We kijken dus eerst wat de rest is van LaTeX bij deling door 12.
345/12 geeft rest 9.
Het is eenvoudig na te gaan dat de laatste 2 cijfers van 345^k-9 zijn 16 voor k>1.
Dan is 345^k-9 is deelbaar door 9 voor k>0.
Dus geeft LaTeX rest 9 bij deling door 12.


LaTeX

345= 12*28+9≡9 (mod 12)

(12x+y)^n≡y^n (mod 12)
Volgens het bin van Newton hebben alle termen een factor 12 behalve y^n.

9^n≡9 (mod 12)
Dus: 11^9≡8 (mod 13)

Veranderd door Safe, 10 juni 2009 - 12:26


#13

thrm

    thrm


  • >25 berichten
  • 26 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 10 juni 2009 - 15:46

345= 12*28+9≡9 (mod 12)

(12x+y)^n≡y^n (mod 12)
Volgens het bin van Newton hebben alle termen een factor 12 behalve y^n.

9^n≡9 (mod 12)
Dus: 11^9≡8 (mod 13)



Yep, het is 8. Bedankt allen voor de hulp ;)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures