[wiskunde] dynamische systemen

Oromis

Hallo,

Voor wiskunde bestudeer ik het volgende dynamische systeem:

x(n+1) = -ax(n)²+10

x(0) = 3

Hierbij is x(0) compleet willekeurig gekozen. Door a te variëren (tussen 0 en 0.2) ga ik het ontstaan van chaos bekijken.

Er zijn twee oplossingen die je kan vinden met de abc-formule:

x(n+1) = x(n)

x = -ax²+10

-ax²-x+10 = 0

x_1/2 = (1 -/+ sqrt(1+40a)) / (-2a)

Mijn eerste vraag is of je van deze oplossingen wiskundig kan beredeneren of ze stabiel of instabiel zijn. Misschien met behulp van de helling?

Alle stabiele periodieke oplossingen zijn gemakkelijk te vinden met een bifurcatiediagram. Rond a = 0.07 ontstaat een stabiele periodieke oplossing met periode 2. Maar eventuele onstabiele periodieke oplossingen zijn niet in een bifurcatiediagram terug te vinden (toch?). Is er misschien een manier om ook deze te vinden?

Van a = 0.15 tot a = 0.2 ontstaat chaos, met een 'pauze' rond 1.18, waar tijdelijk enkele stabiele periodieke oplossingen ontstaan. Maar na a = 0.2 'explodeert' het systeem. Waarom dit gebeurt is goed te zien in een webgrafiek: de grafiek 'ontsnapt' aan het gedeelte waar de grafiek boven y=x ligt. Kan deze 0.2 wiskundig beredeneert worden?

Bedankt voor alle hulp!

stoker

de limietwaarde van x(n) heeft twee oplossingen. de limiet bestaan in het algemeen geval dus niet. wanneer bestaat die wel?

Hiermee raak je op weg denk ik

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] dynamische systemen

[wiskunde] dynamische systemen

Re: [wiskunde] dynamische systemen