[fysica] energie voor een harmonische beweging

chayake

Hallo,

Ik heb een vraagje ivm energie bij een harmonische beweging. De totale energie bij een harmonische beweging wordt gegeven door:

E_tot = U + K = 1/2 k A²

De cursus gaat verder:

U ≡ 1/T ₀

\(\int\)

^Tdt 1/2 k x² (t) = 1/4 k A² = 1/2 E_tot

Voor kinetische energie staat er iets gelijkaardig:

K ≡ 1/T ₀

\(\int\)

^Tdt 1/2 m v² (t) = 1/4 k A² = 1/2 E_tot

Dit begrijp ik niet. Kan iemand mij wegwijs maken in dit kluwen?

thermo1945

De uitgeschreven vormen zijn gemiddelden van U en K.

Phys

Ter aanvulling op Thermo: het gemiddelde van een functie f op het interval [a,b] is

\(\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx\)

.

Hier wordt dus de gemiddelde potentiële en kinetische energie over een gehele periode T berekend (en die blijken beide gelijk te zijn aan de helft van de totale mechanische energie).

chayake

Ok, die integraal begrijp ik nu, maar hoe kan die uitkomst nu 1/4 kA² zijn?

dirkwb

Ok, die integraal begrijp ik nu, maar hoe kan die uitkomst nu 1/4 kA² zijn?

\( x(t) =\sin \left( \frac{2 \pi t}{T} + \alpha \right)\ \)

Phys

\(U=\frac{1}{T}\int_0^T dt\frac{kx(t)^2}{2}=\frac{k}{2T}\int_0^T dt\left(\underbrace{A\sin(\omega t)}_{x(t)}\right)^2=...=\frac{kA^2}{4}\)

met

\(\omega=\frac{2\pi}{T}\)

chayake

\( x(t) =\sin \left( \frac{2 \pi t}{T} + \alpha \right)\ \)

Ah ja, dit is natuurlijk de verplaatsing bij een harmonische trilling, maar moet het niet

\( x(t) = A \sin \left( \frac{2 \pi t}{T} + \alpha \right)\ \)

zijn?

Phys

Jawel, zie mijn bericht. Je kunt alfa op nul stellen voor het gemak.

dirkwb

Ah ja, dit is natuurlijk de verplaatsing bij een harmonische trilling, maar moet het niet
\( x(t) = A \sin \left( \frac{2 \pi t}{T} + \alpha \right)\ \)
zijn?

Inderdaad, ik was de A vergeten.

chayake

Phys schreef:
\(U=\frac{1}{T}\int_0^T dt\frac{kx(t)^2}{2}=\frac{k}{2T}\int_0^T dt\left(\underbrace{A\sin(\omega t)}_{x(t)}\right)^2=...=\frac{kA^2}{4}\)
met
\(\omega=\frac{2\pi}{T}\)

Ik doe een poging:

\(U=\frac{1}{T}\int_0^T dt\frac{kx(t)^2}{2}=\frac{k}{2T}\int_0^T dt\left(\underbrace{A\sin(\omega t)}_{x(t)}\right)^2= A² \frac{k}{2T} \frac{-1}{\omega} \cos(\omega t) = \frac{-kA²}{4\pi} \)

Volgende zaken zijn voor mij nog niet heel duidelijk:

- hoe gaat dat min-teken weg?

- hoe komt het dat ik

\( \pi \)

uitkom in de noemer?

- waar is de tweede macht naar toe van

\( \sin(\omega t) \)

?

(Ben misschien een beetje een moeilijke klant, maar ik wil echt graag weten waarover het gaat. Wiskunde is niet echt mijn sterkste kant, moet ik toegeven..)

dirkwb

\(U=\frac{1}{T}\int_0^T dt\frac{kx(t)^2}{2}=\frac{k}{2T}\int_0^T dt\left(\underbrace{A\sin(\omega t)}_{x(t)}\right)^2= A² \frac{k}{2T} \int_0^T \frac{1}{2}- \frac{1}{2} \cos (2\omega t)\ \mbox{d}t = A² \frac{k}{2T}\cdot \frac{1}{2}T = \frac{1}{4}k A^2\)

Phys

Zie dirkwb. Waar jij de fout in gaat, is de primitieve van sin² (wt). Jij schijnt te denken dat

\(\int \sin^2(\omega t)dt=-\frac{\cos(\omega t)}{\omega}\)

. Waarschijnlijk ben je het kwadraat vergeten

Hoe je aan de factor pi komt is me niet duidelijk.

Er geldt

\(\int_0^T \sin^2(\omega t)dt=\int_0^T\left[\frac{1}{2}-\frac{\cos(2\omega t)}{2}\right]dt=\frac{t}{2}-\left.\frac{\sin(2\omega t)}{4\omega}\right|^T_0=\frac{T}{2}\)

chayake

Oef, da's duidelijk nu

Dankjewel allemaal voor de hulp!

Phys

Graag gedaan; succes nog!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[fysica] energie voor een harmonische beweging

[fysica] energie voor een harmonische beweging

Re: [fysica] energie voor een harmonische beweging

Re: [fysica] energie voor een harmonische beweging

Re: [fysica] energie voor een harmonische beweging

Re: [fysica] energie voor een harmonische beweging

Re: [fysica] energie voor een harmonische beweging

Re: [fysica] energie voor een harmonische beweging

Re: [fysica] energie voor een harmonische beweging

Re: [fysica] energie voor een harmonische beweging

Re: [fysica] energie voor een harmonische beweging

Re: [fysica] energie voor een harmonische beweging

Re: [fysica] energie voor een harmonische beweging

Re: [fysica] energie voor een harmonische beweging

Re: [fysica] energie voor een harmonische beweging