Springen naar inhoud

Ordinaalgetallen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 23 juni 2009 - 11:09

Afgesplitst uit hier:

Ik wil wel een minicursusje schrijven over ordinaalgetallen als je dat interesseert.
Het is interessante stof.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 juni 2009 - 11:49

Ik zou je niet willen belasten met het schrijven van een minicursus speciaal voor mij. Maar er zijn vast meer mensen die er iets aan hebben, en ik zou het zeker interessant vinden, dus in dat geval graag ;)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 juni 2009 - 12:09

Goede toegankelijke boeken hierover vond ik Introduction to set theory (Hrbacek en Jech) en The joy of sets: fundamentals of contemporary set theory (Devlin).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#4

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 23 juni 2009 - 16:44

Ik zou je niet willen belasten met het schrijven van een minicursus speciaal voor mij. Maar er zijn vast meer mensen die er iets aan hebben, en ik zou het zeker interessant vinden, dus in dat geval graag ;)

Ik zal eens kijken dit weekend.

#5

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 juni 2009 - 16:55

Ik zal eens kijken dit weekend.

Ik ben ook wel geinteresseerd als het laagdrempelig is ;)
Quitters never win and winners never quit.

#6

jhnbk

    jhnbk


  • >5k berichten
  • 6905 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 juni 2009 - 17:08

Doe maar hoor. Ik lees ook wel mee.
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

#7

wabojo

    wabojo


  • 0 - 25 berichten
  • 7 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 24 juni 2009 - 22:18

en hier is nog iemand die geinteresseerd is ;)

#8

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 26 juni 2009 - 18:50

De ordinaalgetallen

Uitbreiding van de natuurlijke getallen

We beginnen vanaf 1 te tellen: LaTeX .
We gaan nu deze verzameling van natuurlijke getallen uitbreiden met een extra symbool LaTeX .
Per definitie is LaTeX .
LaTeX is dus de verzameling van alle tot dan toe gecreŽerde/gevonden getallen.
(Deze truc zullen we steeds uitvoeren als we vastlopen).
Nu we een nieuw getal LaTeX hebben gecreŽerd kunnen we weer normaal verder tellen LaTeX enz
We krijgen uiteindelijk:
LaTeX .
We kunnen niet verder. We maken daarom gebruik van de eerder genoemde truc.
Per definitie is LaTeX ,
en we kunnen weer vooruit.
Het is duidelijk dat we uiteindelijk uitkomen op
LaTeX .
waarin de getallen LaTeX optreden.
Hoe verder?
Wel LaTeX is de verzameling van tot hier toe ontdekte getallen.

Het is duidelijk dat we getallen als LaTeX zullen tegenkomen.
Als we dan uiteindelijk vastlopen, dan hebben we weer een nieuw symbool paraat LaTeX , dat het schip weer van de zandbank trekt.

Na vele nachtjes doorwerken hebben we de volgende getallen gevonden LaTeX .
We trekken het schip weer los met de definitie van LaTeX .

We vinden uiteindelijk getallen als LaTeX .
We bedenken een nieuw getal LaTeX (de verzameling van alle tot nu toe bedachte getallen).
We lopen weer vast als we LaTeX hebben gecreŽerd.
We vinden dan een nieuwe, LaTeX , en veel, veel later LaTeX .
Afijn, na dingen als LaTeX krijgen we (stel ik voor) LaTeX .
Nu stop ik, want de getallen gaan me over het hoofd groeien.

Toepassing

Je hebt niets aan een theorie als hij geen toepassingen kent.
Bekijk alle continue functies op LaTeX .
Die verzameling wordt meestal weergegeven met LaTeX .
Bekijk vervolgens de verzameling van functies die puntsgewijze limiet zijn van een rij functies uit LaTeX .
Die verzameling heet de eerste klasse van Baire en wordt weergegeven met LaTeX .

Bijvoorbeeld: LaTeX , (LaTeX ), want
LaTeX .

Bekijk vervolgens de verzameling van functies die puntsgewijze limiet zijn van een rij functies uit LaTeX .
Die verzameling heet de tweede klasse van Baire en wordt weergegeven met LaTeX .
Je snapt het al, zo kunnen we maken de rij LaTeX .
LaTeX is dan de vereniging van deze verzamelingen. M.a.w. LaTeX zijn de limieten van rijen waarvan de termen functies zijn van eindige klassen van Baire.

We vinden zo Baire klassen als LaTeX . En het aantal Baireklassen is gigantisch, zoals we uit de eerste paragraaf wel mogen concluderen.

Voorbeeld van een functie van Baire klasse 2: LaTeX .

Bijzondere eigenschappen van de klassen van Baire

Er geldt uiteraard (denk aan constante rijen): Als voor de ordinaalgetallen LaTeX geldt LaTeX , dan is LaTeX .
Zeer opmerkelijk is de volgende eigenschap:
Als LaTeX verschillende ordinaalgetallen zijn, dan is LaTeX .
Blijkbaar zijn alle Baireklassen verschillend.


Wat kunnen we nu zeggen van de verzameling LaTeX , die de vereniging is van alle klassen van Baire?
Is LaTeX de verzameling van alle functies?
Neen.
LaTeX is de verzameling van Borel meetbare functies.
Het bewijs laat ik achterwege. (Wel jammer, want het bewijs is heel fraai en van de Belgique, de la Vallee Poussin).

LaTeX is de kleinste verzameling die alle continue functies omvat, en die gesloten is ten aanzien van het nemen van puntsgewijze limieten.

De aftelbare ordinaalgetallen (formeel)

De verzameling van getallen die we gevonden hebben in de eerste paragraaf hebben de volgende eigenschappen:
De verzameling is totaal (/lineair) geordend. Dat wil zeggen, dat voor elk tweetal verschillende getallen, een van beide kleiner is dan de andere.
Verder heeft elke deelverzameling een kleinste element. We zeggen dan dat de verzameling welgeordend is.

We zullen hierna steeds veronderstellen dan de genoemde verzamelingen totaal geordend zijn.

Twee verzamelingen LaTeX en LaTeX zijn als geordende verzamelingen niet van elkaar te onderscheiden als er een bijectieve functie LaTeX bestaat met LaTeX (ga na!).
LaTeX en LaTeX heten dan (orde)-isomorf: LaTeX .

Voorbeelden: LaTeX .
LaTeX . Waarom niet?
LaTeX is welgeordend, LaTeX niet!

Stelling:
Stel LaTeX is welgeordend en LaTeX is strikt stijgend, dan is LaTeX voor alle LaTeX

Bewijs:
Stel dat LaTeX .
LaTeX is welgeordend en LaTeX , dus LaTeX heeft een kleinste element, zeg LaTeX .
Dan is LaTeX , dus LaTeX (*).
LaTeX is strikt stijgend, dus LaTeX .
Maar hier staat niets anders dan dat LaTeX .
LaTeX is het kleinste element van LaTeX , dus moet LaTeX zijn.
Echter dit is in strijd met (*). Tegenspraak.

Als LaTeX welgeordend is, dan kunnen we beginstukken van LaTeX onderzoeken.
Met een beginstuk bedoel ik uiteraard het volgende:
Definitie:
LaTeX is een beginstuk van een welgeordende verzameling LaTeX als voor elk tweetal elementen LaTeX geldt LaTeX .

Als LaTeX , dan bevat LaTeX een kleinste element LaTeX .
Dan is LaTeX .

Stelling:
Als LaTeX welgeordend is en LaTeX is een beginstuk van LaTeX en LaTeX , dan is LaTeX .

Bewijs:
Zeg LaTeX is een isomorfisme.
Kies LaTeX .
Volgens de eerste stelling is LaTeX .
LaTeX , dus is ook (LaTeX was immers een beginstuk van LaTeX ) LaTeX .
Dus LaTeX

Stelling:
Als LaTeX welgeordend en LaTeX is een isomorfisme, dan is LaTeX voor alle LaTeX .

Bewijs:
LaTeX is strikt stijgend, dus LaTeX voor alle LaTeX .
Substitutie van LaTeX geeft: LaTeX . Nu is LaTeX strikt stijgend, dus LaTeX .
Dus LaTeX .

Stelling:
Als LaTeX twee welgeordende verzamelingen zijn, dan is LaTeX isomorf met een beginstuk van LaTeX , of omgekeerd, LaTeX isomorf met een beginstuk van LaTeX .

Het bewijs is niet moeilijk, maar is wat langer, en derhalve laat ik het hier achterwege.

We bekijken nu de verzameling LaTeX van welgeordende deelverzamelingen van LaTeX .
Als LaTeX zo'n verzameling is, dan stoppen we alle verzamelingen die orde-isomorf zijn met LaTeX in een equivalentieklasse LaTeX .
De verzameling van equivalentieklassen noemen we LaTeX .
Op die equivalentieklassen bestaat een totale ordening:
LaTeX is isomorf met een beginstuk van LaTeX .
LaTeX blijkt een welgeordende verzameling te zijn.

Opmerkelijk is de volgende stelling
Stelling:
1.) Elk beginstuk van LaTeX , dat niet gelijk is aan LaTeX is aftelbaar.
2.) LaTeX is overaftelbaar.

Een laatste opmerking:
Voor kennen het principe van volledige inductie (LaTeX ) en
het principe van verloopsinductie (LaTeX ).
Voor de natuurlijke getallen zijn ze gelijkwaardig, maar voor de ordinaalgetallen kunnen we slechts gebruik maken van het principe van verloopsinductie, dat dus krachtiger is.

#9

halb

    halb


  • >25 berichten
  • 39 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 26 juni 2009 - 19:46

Je hebt niets aan een theorie als hij geen toepassingen kent.

en dan, een 'toepassing' ;)
-
Het ziet er goed uit.

ps. heb je dit/gerelateerd tijdens informatica-studie geleerd?

Veranderd door halb, 26 juni 2009 - 19:52


#10

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 26 juni 2009 - 21:39

Nee ;) .
Er zijn veel meer toepassingen. Even zoeken met Google geeft b.v.
Transfinite ordinals as axiom number symbols for unification of quantum and electromagnetic wave functions

#11

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 27 juni 2009 - 18:31

We vinden uiteindelijk getallen als LaTeX

.
We bedenken een nieuw getal LaTeX (de verzameling van alle tot nu toe bedachte getallen).
We lopen weer vast als we LaTeX hebben gecreŽerd.
We vinden dan een nieuwe, LaTeX , en veel, veel later LaTeX .
Afijn, na dingen als LaTeX krijgen we (stel ik voor) LaTeX .
Nu stop ik, want de getallen gaan me over het hoofd groeien.


Dat is inderdaad het punt waar het mij ook begint te duizelen. Klopt het dat ons voorstellingsvermogen tekort schiet om LaTeX langs deze weg te bereiken?

#12

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 27 juni 2009 - 20:00

We begrijpen het opbouwprincipe (in principe), maar een voorstelling maken van het geheel gaat boven onze pet.
Zie de laatste stelling: Elk beginstuk is aftelbaar, dus in principe zouden de beginstukken van de verzameling der ordinaalgetallen elementen uit LaTeX kunnen zijn. Maar de totale verzameling van ordinaalgetallen is overaftelbaar. Daar haak ik af.
Het is te vergelijken met de verzameling LaTeX , waar elk beginstuk eindig is, maar het geheel aftelbaar oneindig.

#13

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 27 juni 2009 - 20:36

Dan ligt het dus niet aan mij. Ik vreesde al dat ik er te dom voor was. Dan heb ik nog een vraag: zou het zo kunnen zijn dat de weerbarstigheid van de continuŁmhypothese met deze beperkingen van ons voorstellingsvermogen samenhangt?

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 juni 2009 - 20:44

Wat bedoel je met weerbarstigheid? Van de continuŁmhypothese heeft men kunnen tonen dat het onafhankelijk is van de gangbare axiomatiek voor de verzamelingenleer (ZF), het is binnen dat kader "onbeslisbaar" (noch de stelling, noch het tegendeel kunnen aangetoond worden; je kan een van beide gewoonweg aannemen als axioma en verschillende theorieŽn verder uitbouwen).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 27 juni 2009 - 22:04

Wat bedoel je met weerbarstigheid? Van de continuŁmhypothese heeft men kunnen tonen dat het onafhankelijk is van de gangbare axiomatiek voor de verzamelingenleer (ZF), het is binnen dat kader "onbeslisbaar" (noch de stelling, noch het tegendeel kunnen aangetoond worden; je kan een van beide gewoonweg aannemen als axioma en verschillende theorieŽn verder uitbouwen).


De axioma's formaliseren een intuÔtieve voorstelling van wat een verzameling is. Ikzelf zie een verzameling min of meer als een zak spulletjes. Daarbij zijn vervolgens alle materiŽle en geometrische beperkingen van feitelijk bestaande zakken weggedacht. Dat klinkt vast wat vreemd, maar dit beeld voldoet mij uitstekend. Ik kan mij heel goed een ideŽle wereld voorstellen waarin zulke verzamelingen/zakken bestaan. Wat ik mij dan weer niet kan voorstellen is dat in deze geÔdealiseerde wiskundige wereld de continuŁmhypothese onbepaald zou zijn. Er komt onder alle deelverzamelingen van R naar mijn idee wel of niet een overaftelbare deelverzameling van R voor die niet gelijkmachtig met R is. Er moet dus iets aan de gangbare axiomatiek (of wellicht aan de gereedschapskist van de logica) ontbreken, waardoor de continuŁmhypothese vooralsnog onbeslisbaar is. Anders gezegd: er zou een (vooralsnog onbekend) axioma moeten zijn, dat het mogelijk maakt de hypothese te beslissen. De weerbarstigheid zit hem dus eigenlijk daarin dat we er maar niet in slagen met een intuÔtief bevredigd extra axioma op de proppen te komen, dat de hypothese beslist.

Om op mijn oorspronkelijke vraag terug te komen: ik acht het denkbaar dat de beperkingen in het menselijk voorstellingsvermogen het zicht op zekere eigenschappen van "grote" verzamelingen ontnemen, waardoor het ontbrekende axioma ons ontgaat.

Nu ik dit zo opschrijf besef ik dat het nogal platonistisch aandoet. Ik meen echter niet dat getallen, verzamelingen, functies en dergelijken ergens een objectief bestaan hebben. Maar wel dat we het ons zo kunnen voorstellen, en dat er duidelijke grenzen zijn aan wat er in zulke denkbeeldige werelden wel of niet mogelijk is.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures