[wiskunde] reeks

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 200

[wiskunde] reeks

Tijdens het maken van een opgave kwam ik uit op een recursieve formule:
\(a_n_+_1= 2^{n} + 2a_n\)
met
\(a_1 = 1\)
Nu wil ik uitrekenen

S =
\(\sum^{\infty}_{n=0} \frac{a_n_+_1}{n!}\)
Ik wil hem graag uitdrukken in e-machten, dit moet mogelijk zijn volgens de opgave, door gebruik te maken van de taylorreeks:
\(exp(a) = 1 + a + \frac{1}{2!}a^2 + \frac{1}{3!}a^3 + .. = \sum^{\infty}_{k=0} \frac{a^k}{n!}\)
Hoe kan ik dat doen? Moet ik er dan eerst een directe formule voor a_n opstellen? Ik kom er maar niet uit, maar volgens mij is het niet zo lastig.. ?

Misschien handig om te weten:
\(a_1 = 1\)
\(a_2 = 4\)
\(a_3 = 12\)
\(a_4 = 32\)
\(a_5 = 80\)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] reeks

Als je weet hoe je zo'n differentievergelijking kan oplossen (vrij eenvoudig in dit geval), heb je een expliciete formule voor a(n). Dan even je som invullen en vereenvoudigen en je kan inderdaad handig en gemakkelijk gebruik maken van de reeks van de e-macht.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: [wiskunde] reeks

Er geldt
\(a_{n}=n2^{n-1}\)
, of
\(a_{n+1}=(n+1)2^n\)
. Dus:
\(\sum_{n=0}^\infty\frac{a_{n+1}}{n!}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(n+1)2^n}{n!}=...\)
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -

Berichten: 200

Re: [wiskunde] reeks

Bedankt voor jullie reacties.
Als je weet hoe je zo'n differentievergelijking kan oplossen (vrij eenvoudig in dit geval), heb je een expliciete formule voor a(n). Dan even je som invullen en vereenvoudigen en je kan inderdaad handig en gemakkelijk gebruik maken van de reeks van de e-macht.
Ik heb veel wiskunde voor mijn studie, maar het oplossen van differentievergelijkingen is nooit aan bod gekomen, wellicht komt het nog. Ik was zelf al een beetje aan het gissen naar de oplossing, en die phys geeft is degene die ik zocht. Phys heb je deze reeks ook gewoon 'geraden'?
Phys schreef:Er geldt
\(a_{n}=n2^{n-1}\)
, of
\(a_{n+1}=(n+1)2^n\)
. Dus:
\(\sum_{n=0}^\infty\frac{a_{n+1}}{n!}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(n+1)2^n}{n!}=...\)
Dan zal ik hem even afmaken:
\(\sum_{n=0}^\infty\frac{2^n}{n!}+\sum_{n=0}^\infty\frac{(n2^n)}{n!}=e^2+2e^2 = 3e^2\)
(misschien overbodig, maar ik heb gebruikt gemaakt van
\( \sum_{n=0}^\infty\frac{(nx^n)}{n!}= xe^x\)
)

Dit lijkt me correct ofniet? ;)

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: [wiskunde] reeks

Phys heb je deze reeks ook gewoon 'geraden'?
Deze was inderdaad vrij snel 'op het oog' te zien, anders staan hier wat oplosmethodes.
\(\sum_{n=0}^\infty\frac{2^n}{n!}+\sum_{n=0}^\infty\frac{(n2^n)}{n!}=e^2+2e^2 = 3e^2\)
Dit lijkt me correct ofniet? ;)
Jazeker!
(misschien overbodig, maar ik heb gebruikt gemaakt van
\( \sum_{n=0}^\infty\frac{(nx^n)}{n!}= xe^x\)
)
Inderdaad overbodig, maar misschien niet voor iedereen :P
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -

Reageer