Springen naar inhoud

[wiskunde] kansspel 'hoger,lager en zwart of rood'


  • Log in om te kunnen reageren

#1

nilrecurring

    nilrecurring


  • 0 - 25 berichten
  • 14 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 juli 2009 - 21:16

Hee Allemaal!

Ik heb een eigen kansspel ontworpen, en vraag me af wat jullie er van vinden, en of jullie me kunnen helpen waar ik er niet uit kom. Ik heb het mezelf geloof ik vrij moeilijk gemaakt, maar wil het toch graag uitpluizen.

Korte uitleg:
Je speelt het spel met een pak kaarten (zonder jokers). Dus 52 kaarten. De kaarten worden goed geschud, en op de kop op de tafel gelegd. De bovenste kaart wordt omgedraaid en naast de stapel gelegd, dit is de beginkaart.
De beginkaart kun je dus zien. Het is de bedoeling dat je voor de volgende kaart kiest of de kaart hoger of lager is dan de beginkaart, en rood ® f zwart (Z).

Stel: de beginkaart is een zwarte aas, A-Z. Er zijn twee mogelijke volgende kaarten. Of de kaart is hoger (grote kans), of de kaart is ook een aas (kleine kans, maar kan gebeuren). Als de kaart die je pakt hetzelfde is als de beginkaart (/de vorige kaart), is het altijd goed. Als je hoger zegt, is de kaart dus hoger, en als je lager zegt issie lager (stel: je hebt een zwarte 10, en je kiest hoger, rood en het is een rode 10, dan is dat goed. Als je kiest lager, rood en het is een rode 10 is dat dus ook goed).

Als je goed gokt, mag de volgende. Dit gaat net zolang door tot iemand in de cirkel (/de ander/jijzelf) verkeerd gokt. Dan is het potje afgelopen, en moet de verliezer zoveel slokken van zn drankje nemen als er kaarten naast de stapel liggen. Dus stel er zijn 4 rondes geweest, en er ligt een beginkaart, dan moet de verliezer 5 slokken nemen.

Is de bedoeling duidelijk?

Dan mijn vraag. Ik moet voor een verslag alle mogelijke spelverlopen uitrekenen. Dat is bij dit spel niet te doen, maar om te laten zien dat ik het wel zou kunnen wil ik een aantal kansen berekenen. Wat de kansen zijn bij de hoge of juist lage kaarten, bij de middelste kaarten etc.

Nu probeer ik om te beginnen de kansen uit te rekenen als de beginkaart een zwarte 2 is, 2-Z.

2-Z

P(volgende is hoger) = 47/51ste (want er zijn nog 51 kaarten, waarvan er 4 lager zijn (hetzelfde kan ook hoger zijn)), dus 0,9216.
P(lager) = 4 + 3 (de andere tween) = 7/51ste = 0,1373.

Dit is een beetje een vreemde regel, want dit betekend dat de totale kans groter is dan 1. Kan ik dit wel maken? Het is hoe het spel in elkaar zit (dankzij mij) dus ik dacht van wel. Wat vinden jullie?


De kans dat de volgende kaart hoger is, is aanmerkelijk groter.
De volgende stap is het kiezen tussen rood of zwart. De beginkaart was zwart, dus er is al 1 zwarte kaart uit het spel. De kans op een zwarte kaart is dus 0,4902 en de kans op een rode is 0,5098. Dus ook hier heb je de grootste kans op geluk als je de kleur kiest die net in de beginkaart aanwezig is.

Klopt dit? Of moet je nog rekening houden met het feit dat je waarschijnlijk toch hoger kiest (als de beginkaart 2-Z is) en dus de kans uitrekenen dat de volgende kaart n hoger is n zwart? Dus alle kaarten die zwart zijn en lager (de twee zwarte asen die overblijven) niet meetellen?

Ik kom er even helemaal niet meer uit, en moet dit echt weten. Ik heb er zelf ontzettend lang naar gekeken maar zie door de bomen het bos niet meer. Ik hoop echt dat iemand me kan helpen, want het is ontzettend belangrijk voor me dat ik dit goed begrijp. (ik moet over 3 dagen een verslag hierover presenteren, waar ALLES vanaf hangt (/of ik slaag voor mn eindexamens of niet)).

Als iemand tips voor me heeft, zou ik dat ontzettend waarderen.

Alvast bedankt voor je reactie als je er een gaat schrijven,
NR

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Kolio

    Kolio


  • >100 berichten
  • 208 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 juli 2009 - 21:56

over dat je strategieen er op los gaat laten moet je zelf weten, maar dat maakt het veel moeilijker. Ik weet niet op welk niveau je je verslag in moet leveren. Maar dat is dan zeker universitair of hoog HBO niveau.

Over dat de kans groter wordt dan 1 klopt niet helemaal...
het regeltje is
LaTeX
p.s. x^c is dus "niet x"

bijv. voor een 3 en je zegt hoger dan volgt
x is 3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K,A
en x^c is alleen 2!

Maar in jou voorbeeld neem je x^c de 2-en en 3-en.
Dus jou doorsnede van x en x^c is niet leeg! Dit is de rede dat de kans niet gelijk is aan 1 maar groter is.

Ik hoop dat dit een beetje duidelijkheid verschaft

#3

zakhooi

    zakhooi


  • >25 berichten
  • 62 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 juli 2009 - 21:57

Om te beginnen vind ik het een beetje vaag allemaal. Als het voor je examen is zou ik het niet met drank doen, maar met punten. Staat naar mijn mening iets netter.

Je moet alle twee de vragen goed hebben. Dus: eerst de kans dat je de kleur goed hebt. Dan de kans dat je het cijfer goed hebt. Je kiest altijd de keuze met het hoogste slagingspercentage. Deze twee vermenigvuldig je met elkaar, en klaar.

edit: waarom reken je bij lager ook de 2en mee ? Deze horen toch gewoon bij hoger, aangezien je het dan ook goed hebt. Dan blijft je kans wel 1.

Veranderd door zakhooi, 06 juli 2009 - 22:01


#4

nilrecurring

    nilrecurring


  • 0 - 25 berichten
  • 14 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 juli 2009 - 22:16

Ten eerste: bedankt voor de snelle reacties! Ik ben er nu mee aan het werk dus dat helpt me ontzettend.

Ten tweede; bedankt voor het idee dat er nog een keer getrokken moet worden als de kaart hetzelfde is, dat voorkomt inderdaad mijn probleem met de kans die groter is dan 1. Ik snap wel waarom het zo is, maar vroeg me vooral af of ik het wel kon maken wiskundig gezien. Niet dus, en dit is ook een beter oplossing vind ik.

Ik had trouwens als volgorde van de kaarten: A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, B, V, H

En dan over de kansen die ik moet uit rekenen. Het is dus een kansexperiment met twee afhankelijke kansen? Ik weet nog dat als iets afhankelijk (kans op 1 EN kans op 2) betekend: keer elkaar, en dat (kans op 1 OF kans op 2) betekend plus elkaar.

Dus overnieuw, bij een zwarte twee, 2-Z

P(volgende is hoger) = P(3,4,5,6,7,8,9,10,B,V,H) = 44/51 (52-beginkaart) = 0,8627.

maar dan de volgende vraag:

Hoe beredeneer je het aantal zwarte/rode kaarten wat overblijft?

P(volgende is zwart) = er is al 1 zwarte kaart uit het spel (de beginkaart) dus de kans is 25/51 = 0,4902. Dan is de kans op rood 26/51= 0,5098.

Dan doe je dus de kans op zwart (0,4902) keer de kans op hoger (0,8627)... (ookal is dat niet al te slim want als dit klopt zijn je kansen beter als je rood kies)

OF

Je kiest voor hoger want dat heeft een grotere kans op succes. Dus de kaarten die onder de 2 zitten tellen niet mee (de asen) en de 2-en zelf ook niet (want dan pak je een nieuwe). Dan blijven er nog 44 mogelijke kaarten over, hoger dan 2. Hiervan zijn er nog precies 22 zwart, en 22 rood. Dus dan is de kans 50%, en maakt het niet uit welke je kiest.


Welke van deze twee benaderingen is de juiste?

Of kan ik het beste het spel versimpelen en gewoon alleen de mogelijkheid hoger of lager uitrekenen?



p.s.
Dit is namelijk de opdracht:
Ontwerp een kansspel waarbij alleen toevalselementen mogen worden gebruikt. Geef een duidelijke uitleg van het spel, bereken alle mogelijke uitkomsten en bereken de verwachtingswaarde van de uitkomst. Speel het spel een aantal keren en doe verslag van de uitkomst.

#5

Kolio

    Kolio


  • >100 berichten
  • 208 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 juli 2009 - 22:42

zwart/rood en hoogte van de kaart hebben geen invloed op elkaar, onafhankelijk.

dus P(rood en hoger) = P(rood) x P(hoger)

Ik zou dan ook een regeltje invoeren als het een Z-5 was en je zegt (Z of R)/hoger en er komt een R-5, dat je opnieuw mag zeggen wat je kiest, dus opnieuw hoger/lager Z/R. Dit voorkomt rare valkuiltjes.

Reken de verwachtingswaarde uit, speel het wat. De verwachtingswaarde zijn voor de limiet naar oneindig, dus deze zullen wat afwijken van je met spelen behaalde resultaten.

#6

nilrecurring

    nilrecurring


  • 0 - 25 berichten
  • 14 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 07 juli 2009 - 08:08

Reken de verwachtingswaarde uit, speel het wat. De verwachtingswaarde zijn voor de limiet naar oneindig, dus deze zullen wat afwijken van je met spelen behaalde resultaten.



Dit begrijp ik niet... de limiet naar oneindig? Dit komt me alleen bekend voor bij afgeleides opstellen e.d., niet bij kansberekeningen...

En hoe reken ik de verwachtingswaarde uit? De kans van het verkeerd kiezen x het aantal te verdienen strafpunten/het aantal te consumeren slokken? Want er gebeurt niets als je wel goed kiest... dus hier is geen verwachtingswaarde van op te stellen, geloof ik?

#7

nilrecurring

    nilrecurring


  • 0 - 25 berichten
  • 14 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 07 juli 2009 - 11:23

Okee ik heb de ochtend besteed aan het proberen opstellen van de verwachtingswaarde, en ik loop er toch een beetje in vast.

De verwachting of verwachtingswaarde van een stochast X bereken je door de kansen, P(X=k), te vermenigvuldigen met k en de uitkomsten op te tellen.

De stochast X is in dit geval het aantal strafpunten/slokken drank, k is het aantal kaarten op de stapel en de verwachtingswaarde E(X) is dus de te verwachten hoeveelheid strafpunten per ronde.

P(verkeerde kaart gekozen, dus af, dus strafpunten) x aantal kaarten op de stapel (k).

Toch?

Ik heb de kansen berekend van een rondje van het spel wat ik gespeeld heb, waarbij de p die hier gebruikt word de kans is dat je per ronde af bent, oftewel de verkeerde gok maakt (dus het is hoger, zwart en je had gekozen voor lager, zwart bijvoorbeeld)
Iedere ronde drink je zoveel slokken als de beginkaart + het nummer van de ronde. Dus 1 + 1 voor ronde een, en 1+7 voor ronde 7.


E(X) = p x k(af na ronde 1) + p x k(af na ronde 2) + p x k(af na ronde 3) + p x k(af na ronde 4) + p x k(af na ronde 5) + p x k(af na ronde 6) + p x k(af na ronde 7)


Dus E(X) = 0,5602 x 2 + 0,65 x 3 + 0,6102 x 4 + 0,7404 x 5 + 0,502 x 6 + 0,7051 x 7 + 0,7842 x 8 = 23,4345

Heb ik wel de goede stochast/P/k genomen?
Is dit niet een erg vreemd getal? Want in de praktijk moet je in dit geval gewoon 8 slokken drinken...

* de verwachtingswaarde van dit potje is natuurlijk niet 23,4345, 6,2736 is de uitkomst van de verwachtingswaarde als je het als volgt berekend:

E(X) = p x k(door na ronde 1) + p x k(door na ronde 2) + p x k(door na ronde 3) + p x k(door na ronde 4) + p x k(door na ronde 5) + p x k(door na ronde 6) + p x k(AF na ronde 7)


Dus E(X) = 0,5602 x 0 + 0,65 x 0 + 0,6102 x 0 + 0,7404 x 0 + 0,502 x 0 + 0,7051 x 0 + 0,7842 x 8 = 6,2736

Klopt deze verwachtingswaarde wel? Waarom is het lager dan de 8 slokken die je werkelijk moet drinken?

Veranderd door nilrecurring, 07 juli 2009 - 11:33






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures