Supremum

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 16-07-'09, 00:48

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Supremum

Kan iemand me helpen met volgende tegenstrijdigheid ivm het supremum (of least upper bound, verkort lub) van een verzameling van rle getallen:

op deze website vind ik het volgende (blz 3, oef 8 )

"Let T and V be sets of real numbers with least upper bounds λ1 and λ2 , respectively. Consider the set

S = {τ + ν | τ ∈ T, ν ∈ V }. Prove that λ1 + λ2 = lub(S)" ; met vervolgens het bewijs ervan.

Maar op enkele andere plaatsen, waaronder op deze wikipedia pagina (onder examples) staat:
\( \sup \, \{ f(t) + g(t) : t \in A \} \le \sup \, \{ f(t) : t \in A \} + \sup \, \{ g(t) : t \in A \} \)
In het eerste geval staat er "=" in het tweede
\( \le \)
Is dit tegenstrijdig of zie ik iets over het hoofd?
---WAF!---
Omhoog

Bericht 16-07-'09, 07:18

PeterPan

Re: Supremum

Neem
\(f: [-1,1] \to [-1,1] : x \mapsto x\)
, (de identieke afbeelding),

en
\(g(x) = -f(x)\)
voor alle
\(x \in [-1,1]\)
.

Dan is (
\(A = [-1,1]\)
):
\(\sup \, \{ f(t) + g(t) : t \in A \} = 0 < 1 + 1 = \sup \, \{ f(t) : t \in A \} + \sup \, \{ g(t) : t \in A \} \)
Omhoog

Bericht 16-07-'09, 11:30

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Supremum

Of als het je nog niet helemaal duidelijk is: het gaat gewoon over verschillende verzamelingen, de eigenschappen die je aanhaalt. In het eerste geval heb je twee verzamelingen en je neemt alle mogelijke sommen van een element uit de eerste en een element uit de tweede. In het tweede geval tel je de beeldwaarden op bij gelijke argumenten (dezelfde t), je neemt dus niet "alle sommen" f(t) + g(s) met t en s onafhankelijk uit het domein A.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 16-07-'09, 17:21

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Supremum

Dus

In het eerste geval (met alle mogelijke sommen van een element uit de eerste en een element uit de tweede) geldt het = teken dus wel. Daar is dus
\( \sup \, \{ t + v \} = \sup \, \{ t \} + \sup \, \{ v\}\)
In het tweede geval (met gelijke argumenten) is het dus < of = . Ik had ondertussen ook al een gelijkaardig tegenvoorbeeld gevonden:

stel T={(-1)^n} met n een natuurlijk positief getal ; T= {-1,1,-1,1,...} ;dus sup(T)=1

stel V={(-1)^(n+1)} met n een natuurlijk positief getal ; V = {1,-1,1,-1,...} ;dus sup(V)=1

S = {τ + ν | τ ∈ T, ν ∈ V } = {0,0,0,0,...} ; dus sup(S) = 0

0 < 1+1

Hier tel ik inderdaad de beeldwaarden op bij gelijke argumenten (dezelfde n), dat had ik over het hoofd gezien.

Dat is duidelijk nu.

Bedankt beiden.
---WAF!---
Omhoog
Reageer

Terug naar “Analyse en Calculus”