[quote='PeterPan' post='534068' date='16 July 2009, 11:38']Axioma: Er bestaat geen verzameling
\(C\)
mogelijk zou zijn, dus het ligt voor de hand een axioma in te voeren dat zegt
\(A\notin A\)
. Maar dit is niet afdoende, want nu is het mogelijk dat er verschillende verzamelingen A en B zijn zodat
\(A\in B\land B\in A\)
. Dit is nog steeds tegenintuïtief (probeer maar eens een voorbeeld van zulke A en B te vinden
). Dit voorkomen is nog steeds niet afdoende, want het sluit het bestaan niet uit van verschillende A,B en C zodat
\(A\in B\land B\in C\land C\in A\)
, en ga zo maar door. Het
axioma of regularity, door Zermelo genoemd
Axiom der Fundierung, stelt daarom:
\(A\neq\emptyset\to (\exists x)\left[x\in A\land (\forall y)(y\in x\to y\notin A)\right]\)
Intuïtief: iedere niet-lege verzameling A bevat een element x die disjunct is met A. In het bijzonder bestaat er dus geen A zodat A={A}.
We kunnen nu datgene dat we als eerste wilden uitsluiten als stelling bewijzen:
Stelling:
\((\forall A)(A\notin A)\)
Bewijs: Triviaal als A leeg is, dus stel A niet-leeg en neem aan dat
\(A\in A\)
. Aangezien
\(A\in\{A\}\)
, geldt dan ook
\(A\in \{A\}\cap A\)
(*). Volgens het axioma is er een
\(x\in \{A\}\)
zodat
\(\{A\}\cap x=\emptyset\)
. Maar aangezien
\(\{A\}\)
een singleton is, moet
\(x=A\)
. Conclusie:
\(\{A\}\cap A=\emptyset\)
, in tegenspraak met
(*).
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
B ?
