Springen naar inhoud

[wiskunde] extremumvraagstuk: maximaal volume van een ingeschreven cilinder


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Nikolas

    Nikolas


  • >25 berichten
  • 44 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 juli 2009 - 17:15

Opgave:

Gegeven een sfeer met vaste straal R. Een rechte circulaire cilinder is ingeschreven in deze sfeer, d.w.z de randen van het boven- en grondvlak van de cilinder zijn parallelcirkels op de sfeer. Bepaal de afmetingen van de ingeschreven ccilindermet het grootste volume.

Oplossing:

Het volume van die cilinder is V=r≤*Pi*h. Nu moet ik die kleine straal (straal van het grondvlak) of die hoogte proberen in de functie van de andere variabele te schrijven, maar ik zie geen verband. Of is het mogelijk om ze alletwee te schrijven in functie van de vaste straal R, want zowel hoogte als straal zijn natuurlijk een veelvoud van de straal. Iemand een idee, want ik zie het even niet ;)

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 juli 2009 - 18:09

Verplaatst naar huiswerk.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Nikolas

    Nikolas


  • >25 berichten
  • 44 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 juli 2009 - 22:32

Heb je anders nog een goede tip, TD, ik weet dat jij hier erg sterk in bent ;)

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 juli 2009 - 22:44

Stel je eens een doorsnede voor, loodrecht op een cirkelzijde van de cilinder, door de symmetrieas van de cilinder.
Wat voor een (vlakke) figuren krijg je dan? Maak er een schets van. Kan je daar wat variabelen op aanduiden...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Nikolas

    Nikolas


  • >25 berichten
  • 44 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 juli 2009 - 18:52

Ik heb dus het vraagstuk proberen op te lossen, bedankt voor de tip TD!

Ik kom uit dat de verhouding van de straal van de cilinder [r] op de straal van de cirkel [R] SQRT(2/3) moet zijn voor een maximum resultaat. Is dat een mogelijk correcte oplossing (zie uitgeschreven versie in bijlage)?

Bijgevoegde miniaturen

  • CCF21072009_00000_WT.jpg

Veranderd door Nikolas, 21 juli 2009 - 18:55


#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 juli 2009 - 19:02

Ik snap eerlijk gezegd niet goed wat er daar met "twee mogelijke cilinders" gebeurt en wat die formule voor "O" daar doet. Je formule voor V geschreven in functie van h lijkt me goed, maximum inderdaad bij h = R/sqrt(3).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Nikolas

    Nikolas


  • >25 berichten
  • 44 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 juli 2009 - 19:09

Ik snap eerlijk gezegd niet goed wat er daar met "twee mogelijke cilinders" gebeurt en wat die formule voor "O" daar doet. Je formule voor V geschreven in functie van h lijkt me goed, maximum inderdaad bij h = R/sqrt(3).

Die twee mogelijk cilinders zijn gewoon twee doorsneden van hoe het er mogelijk kan uitzien. Ik teken die om geen bijzondere dingen uit de eerste tekening algemeen te maken. Het is voor mij een soort van controle, ik wou zeker weten dat de diagonaal van de rechthoek altijd door de straal ging. Het lijkt misschien evident, maar ik wou het even weten.

En dat is geen formule voor 'O', maar de vergelijking gelijkgesteld aan 0, om de nulpunten te berekenen. Normaal staat het omgekeerd, ik weet het ;)

Veranderd door Nikolas, 21 juli 2009 - 19:11


#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 juli 2009 - 19:14

Ok, dan ziet het er allemaal vrij goed uit. Alleen opletten: als r (of R) de straal voorstelt (zoals logisch is en zo gebruik je het ook in de inhoudsformules), dan zijn je r en R op de tekening eigenlijk 2r en 2R. Dat verandert niet zo veel, een factor hier en daar.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Nikolas

    Nikolas


  • >25 berichten
  • 44 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 juli 2009 - 19:23

Ok, dan ziet het er allemaal vrij goed uit. Alleen opletten: als r (of R) de straal voorstelt (zoals logisch is en zo gebruik je het ook in de inhoudsformules), dan zijn je r en R op de tekening eigenlijk 2r en 2R. Dat verandert niet zo veel, een factor hier en daar.

Ok, dan ziet het er allemaal vrij goed uit. Alleen opletten: als r (of R) de straal voorstelt (zoals logisch is en zo gebruik je het ook in de inhoudsformules), dan zijn je r en R op de tekening eigenlijk 2r en 2R. Dat verandert niet zo veel, een factor hier en daar.

Nu je het zegt... eigenlijk kloppen mijn formules dan niet... Ik zie enkel niet hoe dat zichzelf corrigeert, zou je dat nog even kunnen uitleggen alstublieft?

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 juli 2009 - 19:25

Zichzelf corrigeert...? Nee, je zal wat moeten aanpassen, maar de methode verandert niet.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

Nikolas

    Nikolas


  • >25 berichten
  • 44 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 juli 2009 - 21:53

Zichzelf corrigeert...? Nee, je zal wat moeten aanpassen, maar de methode verandert niet.

Ik heb het vraagstuk nu opniew uitgewerkt met de juiste verhoudingen en ik kom opnieuw dezelfde oplossing uit, met name een verhouding van SQRT(2/3) oftwel SQRT(6)/3. Dat klopt?

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 juli 2009 - 22:21

Ik vind r = sqrt(6)/3.R en h = 2/sqrt(3).R, maar ik kan me misrekend hebben...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

Nikolas

    Nikolas


  • >25 berichten
  • 44 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 juli 2009 - 23:16

Ik vind r = sqrt(6)/3.R en h = 2/sqrt(3).R, maar ik kan me misrekend hebben...

Dan hebben we hetzelfde en kan ik dus op beide oren slapen ;) Opnieuw dankjewel, TD :P

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 juli 2009 - 07:01

Dit moet je natuurlijk nog terug in je inhoudsformule steken om het maximale volume in functie van R (straal van de bol) te hebben. Graag gedaan, ik was al gaan slapen ;)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures