Bewijs van limiet van een functie met epsilon delta

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 84

Bewijs van limiet van een functie met epsilon delta

Hoi,

Aangezien er een herexamen wiskunde aan zit te komen, probeer ik alvast het nodige inzicht in de leerstof te krijgen. Echter loop ik vast bij een bewijs.

De functie is
\( \frac{1}{x} \)
, en we moeten via de epsilon delta definitie bewijzen dat de limiet 0 is.

Wat ik begrijp:

1) We moeten aantonen dat
\( \forall \epsilon > 0 : \exists \delta > 0: x > \delta \Rightarrow |f(x)-0| < \epsilon \)
2) Nu is
\(|f(x)-0| = |\frac{1}{x}| = \frac{1}{|x|} \)
En wat ik niet begrijp:

3) zodat uit
\( x>\epsilon\)
volgt dat
\( \frac{1}{|x|} < \frac{1}{\delta}\)
En bijgevolg is aan de definitie voldaan door
\(\delta \geq \frac{1}{\epsilon}\)
Wat gebeurt er met die
\(\frac{1}{\delta}\)
in deeltje 3 [/b]? Is er een verband tussen die epsilon en die delta, waardoor we ze zomaar onderling mogen omwisselen?

Met dank.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Bewijs van limiet van een functie met epsilon delta

Je vergeet te vermelden dat het de limiet voor
\(x\to + \infty\)
volgt dat
\( \frac{1}{|x|} < \frac{1}{\delta}\)


En bijgevolg is aan de definitie voldaan door
\(\delta \geq \frac{1}{\epsilon}\)
[/quote]

In het begin moet het zijn dat x>δ (kijk naar je definitie) en als dat geldt, dan is 1/x kleiner dan 1/δ.

Maar je wil 1/x kleiner dan ε krijgen en je kan 1/x onder 1/δ krijgen, dus kies δ zodat ε ;) 1/δ, dus δ...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 84

Re: Bewijs van limiet van een functie met epsilon delta

Je vergeet te vermelden dat het de limiet voor
\(x\to + \infty\)
is, wel van belang!
Inderdaad, was ik vergeten te vermelden en klopt dus ook.

Bedankt voor de uitleg want nu is het wel duidelijk!

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Bewijs van limiet van een functie met epsilon delta

Oké, graag gedaan - succes met je herexamen!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer