Springen naar inhoud

Kans op een priemgetal


  • Log in om te kunnen reageren

#1

kasper90

    kasper90


  • >100 berichten
  • 131 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 juli 2009 - 00:34

Hoi allemaal,

Ik ben een tijdje geleden veel bezig geweest met verbanden zoeken in de priemgetallen reeks.
Nou weet ik dat het vrij moeilijk is om een formule te bedenken voor de priemgetallen reeks, zeker als je zoals mij nooit iets van wiskunde heb gestudeerd.
Maar toch, ben ik een beetje op zoek gegaan, en ik ben mss niet op een formule voor priemgetallen uitgekomen, maar wel op een formule voor iets anders...
Het komt erop neer dat het exact de kans berekent dat een getal in een bepaalde interval een priemgetal is.

Nou koste het voor mij uren lange denkkracht om hier op te komen, dus tsjah dan krijg je het idee dat je iets bijzonder hebt gedaan, en deze formule misschien nog wel nooit bedacht is.
Nou is het natuurlijk waarschijnlijker dat deze formule allang eeuwen geleden door iemand gevonden is, of wat natuurlijk ook kan, dat het zo'n onnozele formule is waar je niks aan hebt... maar ik vroeg het me toch af, iemand ooit van zo'n soort formule gehoord ?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 juli 2009 - 08:32

Nee, zo'n formule is nog niet eerder bedacht.

De theoretische functie LaTeX geeft het aantal priemgetallen ;) n (voor iedere willekeurige n). Deze functie is zo gedefinieerd, maar er bestaat (nog?) geen concrete, directe formule voor. Al kun je hem natuurlijk voor iedere willekeurige n wel algorithmisch uitrekenen, mits je een computer met voldoende capaciteit hebt.

De kans die jij noem: LaTeX is gelijk aan LaTeX .

Nu zijn er wel formules die LaTeX benaderen, en de kans die jij noemt valt daar dan ook mee te benaderen. Deze benaderingen worden relatief beter naarmate n groter wordt. Andersom kun je die kans dan ook ombouwen en met jouw formule LaTeX bepalen.

Ik ben erg benieuwd naar je formule! (al ben ik stiekem een beetje bang dat je iets over het hoofd heb gezien en je formule niet klopt :P)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#3

kasper90

    kasper90


  • >100 berichten
  • 131 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 juli 2009 - 14:36

Hm... ik snap niet precies hoe de formule die jij geeft werkt moet ik eerlijk bekennen, maar die ik had bedacht zag er wel compleet anders uit, al ben ik het papiertje waar ik hem op had geschreven wel kwijtgeraakt, zie ik nu, dus ik moet weer even puzzelen.

Het was trouwens geen directe formule maar een indirecte.
Hij geeft bijvoorbeeld aan dat een getal x in het interval 2^2 tot 3^2 een kans van 1/2 heeft dat het priem is.
In het interval 3^2 tot 5^2 is die kans geslonken tot 1/3.

#4

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 22 juli 2009 - 15:00

Hm... ik snap niet precies hoe de formule die jij geeft werkt moet ik eerlijk bekennen, maar die ik had bedacht zag er wel compleet anders uit, al ben ik het papiertje waar ik hem op had geschreven wel kwijtgeraakt, zie ik nu, dus ik moet weer even puzzelen.

Het was trouwens geen directe formule maar een indirecte.
Hij geeft bijvoorbeeld aan dat een getal x in het interval 2^2 tot 3^2 een kans van 1/2 heeft dat het priem is.
In het interval 3^2 tot 5^2 is die kans geslonken tot 1/3.


Wat versta je onder die "kans"? Een echt toevalsexperiment is het immers niet.

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 juli 2009 - 15:04

Er zit een eindig aantal gehele getallen in zo'n interval, als je zo'n getal uit een gegeven interval trekt (met uniforme verdeling over de getallen) geeft de formule (blijkbaar) de kans dat het een priemgetal is.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 juli 2009 - 15:07

[quote name='kasper90' post='535405' date='22 July 2009, 15:36']Hm... ik snap niet precies hoe de formule die jij geeft werkt[/quote]
Nou, Bericht bekijken
Wat versta je onder die "kans"? Een echt toevalsexperiment is het immers niet.[/quote]
Ik neem aan dat TS met "een getal in een bepaald interval" een over dat interval uniform verdeelde stochast bedoelt.


(edit) oh, TD nam dat ook aan zie ik nu ;)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#7

kasper90

    kasper90


  • >100 berichten
  • 131 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 juli 2009 - 15:20

(Ik heb dit geschreven voor dat ik je post zag).

Ik zie het zo.
Het priemgetal 2 zorgt ervoor dat een bepaald aantal getallen geen priemgetal kan zijn omdat het in de tafel van twee voorkomt. Dit zijn alle even getallen en dus de helft.
Vanaf 3^2 zijn er ook getallen die niet in de tafel van twee voorkomen, maar toch niet-priem zijn.

Maar tussen 2^2 en 3^2 is de kans dat een getal even is en dus niet-priem, een half.
De kans dat een getal een priemgetal is, is dus ook 1/2.

Tussen 3^2 en 5^2. Zijn alle getallen die in de tafel van 2 en 3 voorkomen niet-priem. Dat zijn 2/3 van alle getallen. Dus de kans dat een getal priem is in dit interval is 1/3 en te beschrijven met de formule 6n+1 of 6n-1

En zo kan je blijven doorgaan natuurlijk.

De formule is trouwens volgens mij dit (ik weet niet of het wiskundig helemaal klopt hoor)

A(p) geeft de kans dat een getal priem is in het interval p^2 tot (p+1)^2
A(p-1) = 0
A(p) = A(p-1) + 1/p - A(p-1)/p (p=2,3,5,7,11,13...)

Zoiets moet het zijn denk ik...

Veranderd door kasper90, 22 juli 2009 - 15:30


#8

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 juli 2009 - 15:40

De formule is trouwens volgens mij dit (ik weet niet of het wiskundig helemaal klopt hoor)

Er schort nog iets aan je definitie, want volgens dit:

A(p) geeft de kans dat een getal priem is in het interval p^2 tot (p+1)^2

zou moeten gelden A(2) = 1/2, maar

A(p-1) = 0

Als p=3 staat hier A(2) = 0 ?

Kun je met jouw formule eens uitrekenen wat de priemkans is voor het interval 13 tot 29 ?

Of heb je, als ik je uitleg goed interpreteer, eigenlijk hetzelfde bedacht als de zeef van Eratosthenes ?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#9

kasper90

    kasper90


  • >100 berichten
  • 131 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 juli 2009 - 15:43

Wat bedoel je met "het interval a tot b"? Ik neem aan dat a en b zelf niet in dat interval zitten. Immers, je stelt dat een getal in het interval 2^2 tot 3^2 een kans van 1/2 heeft om priem te zijn, dus kennelijk behoren 2^2 en 3^2 zelf niet tot dat interval. Want dan hou je de getallen 5, 6, 7 en 8 over, waarvan inderdaad de helft priem is. Idem voor het interval 3^2 tot 5^2, dat bestaat uit de getallen 10 t/m 24 (15 stuks) waarvan er 5 priem zijn.

Het getal 2^2 zit er wel bij, maar het getal 3^2 niet.
Het klopt dat niet de helft in dit interval priem is, maar de kans dat een getal priem is van elk afzonderlijk getal in het interval is wel de helft.


Kan jouw formule de priemkans berekenen voor ieder interval van a tot b (met a en b willekeurig) ? Of alleen voor intervallen van de vorm a tot b? Of alleen van de vorm p tot q met p en q priem? (dat laatste is toevallig het geval voor de twee voorbeelden die je zelf gaf)

Het is in de vorm p^2 tot q^2

Wat is, volgens jouw formule, de priemkans voor het interval 13 tot 29 ?

Dat geeft de formule niet, omdat de priemkans afneemt bij elk priemgetal^2.

#10

kasper90

    kasper90


  • >100 berichten
  • 131 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 juli 2009 - 15:51

A(p(n)) = A(p-1) + 1/p - A(p-1)/p

De formule werkt zo
p(1) = 2, p(2)= 3 p(3)= 5, p(4)=7

A( 2^2 tot 3^2 ) = 0 + 1/2 + 0 = 1/2

A( 3^2 tot 5^2 ) = 1/2 + 1/3 - 1/6 = 2/3 (of 1/3)

A( 5^2 tot 7^2 ) = 2/3 + 1/5 - 2/15 = 11/15 (of 4/15)

A (13^2 tot 17^2) = 809/1001 (of 192/1001)

Dit zijn de uitkomsten van mijn formule. En volgens mij klopt het.
Volgens mij is deze formule inderdaad gebaseerd op hetzelfde principe als Eratostenes gebruikte.

Veranderd door kasper90, 22 juli 2009 - 16:06


#11

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 juli 2009 - 16:03

Het getal 2^2 zit er wel bij, maar het getal 3^2 niet.
Het klopt dat niet de helft in dit interval priem is, maar de kans dat een getal priem is van elk afzonderlijk getal in het interval is wel de helft.

Ehm... Hoe bedoel je?

Als niet de helft van de getallen in een interval priem is, dan is de kans dat een willekeurig getal uit dat interval priem is, ook niet 1/2.


A( 3^2 tot 5^2 ) = 1/2 + 1/3 - 1/6 = 2/3 (of 1/3)

Wat is het nu, 2/3 of 1/3?

A( 5^2 tot 7^2 ) = 2/3 + 1/5 - 2/30 = 11/15

Ehm.. tussen 25 en 49 zitten 23 getallen, waarvan er 6 priem zijn (29,31,37,41,43,47). Dus als 5^2 en en 7^2 allebei niet meetellen in het interval is de kans 6/23, als er n wel meetelt is het 6/24, en als ze allebei tot het interval behoren is het 6/25.
Maar dat is allemaal niet 11/15 (of 4/15).

Er lijkt me iets mis te gaan met je formule?

Hoe doe je A(17 tot 19) ?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#12

kasper90

    kasper90


  • >100 berichten
  • 131 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 juli 2009 - 16:47

2/3 is niet-priem en 1/3 is wel priem
Het is een formule die uitrekent wat niet-priem is. Dus je moet het antwoord nog 1 - ans doen zeg maar.

Over dat interval probleem,
het klopt inderdaad dat mijn voorspelde kans in het interval 9 tot 25 5/15 is, en dat er in dit interval 16 getallen zitten waarvan er 5 priem zijn.
Maar als je naar dit plaatje kijkt, zie toch wel duidelijk dat 1/3 priem is in dit interval:
http://www.meputrecht.nl/priem6.php

2 van de 6 rijen zijn priem.

En in dit plaatje:
http://www.meputrecht.nl/priem7.php

is heel duidelijk zien dat 8 van de 30 rijen priem zijn.

Volgens mijn formule is de priemkans in het interval 17^2 tot 19^2 = 0,1805

Veranderd door kasper90, 22 juli 2009 - 16:54


#13

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 juli 2009 - 17:04

Over dat interval probleem,
het klopt inderdaad dat mijn voorspelde kans in het interval 9 tot 25 5/15 is, en dat er in dit interval 16 getallen zitten waarvan er 5 priem zijn.

Maar dan moet je ofwel je definitie van interval aanpassen, ofwel je formule veranderen, want 5/15 is toch echt iets anders dan 5/16.

Maar als je naar dit plaatje kijkt, zie toch wel duidelijk dat 1/3 priem is in dit interval:
http://www.meputrecht.nl/priem6.php

2 van de 6 rijen zijn priem.

En in dit plaatje:
http://www.meputrecht.nl/priem7.php

is heel duidelijk zien dat 8 van de 30 rijen priem zijn.

Je links lijken niet te werken?

Volgens mijn formule is de priemkans in het interval 17^2 tot 19^2 = 0,1805

Tja, dan ben ik toch bang dat je formule niet klopt, want die kans is in werkelijkheid 11/72 ;) 0,152778
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#14

kasper90

    kasper90


  • >100 berichten
  • 131 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 juli 2009 - 17:20

Wat zie je dan bij de links, bij merken we ze namelijk wel.. ?

Veranderd door kasper90, 22 juli 2009 - 17:26


#15

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 juli 2009 - 17:29

Niets, ik krijg een time-out. Idem bij www.meputrecht.nl
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures