[wiskunde] samengestelde functie

aber

Hoe bepaal ik het domein van een samengestelde functie h o g o f?

Ik dacht eerst:

Afbeelding

Nu denk ik:

Afbeelding

Iemand een idee?

aber

Ik zie mijn fout al, het moet volgens mij zijn:

Afbeelding

TD

Maak het jezelf gemakkelijker en bekijk het eens voor g(f(x)), meerdere samenstellingen volgen dan door herhaaldelijk toepassen.

Als het beeld van f volledig binnen het domein van g ligt, hou je het domein van f.

Als het beeld van f meer is dan het domein van g, zal het domein een deelverzameling van dom(f) zijn; namelijk die beperking f* waarbij het beeld van f* wel binnen het domein van g ligt.

aber

Dank u, TD. Dat is inderdaad een stuk makkelijker.

Geldt jouw uitleg ook indien het beeld van f en het domein van g een verschillende dimensie hebben? Bijvoorbeeld: bld (f)= R en dom (g)= R

Rogier

Merk op dat "het beeld van f" doorgaans wel genoteerd wordt als

\(Im(f)\)

en

\(Dom(g)=\rr\)

?

In dat geval kan er van een samengestelde functie g o f geen sprake zijn.

g(f(t)) kun je alleen zinnig definiëren als Im(f) en Dom(g) in dezelfde ruimte liggen (in principe zelfs als ze onderling disjunct zijn, al is g o f dan een functie met leeg domein).

TD

Als je het graag netjes (symbolisch) wil noteren, kan je het "inverse beeld" van een functie gebruiken. Let op met eventuele verwarring in notatie met de inverse functie, maar als f:X->Y een functie is en Z is een deelverzameling van Y, dan noteren en definiëren we het invers beeld van Z onder f als volgt:

\({f^{ - 1}}\left( Z \right) = \left\{ {x \in X\left| {f\left( x \right) \in Z} \right.} \right\}\)

Dit is een deelverzameling van het domein X. In woorden: het is precies dat deel van X, dat onder f afgebeeld wordt op Z. Kies nu Z = dom(g) en je krijgt met dit invers beeld onder f precies de verzameling van x-waarden die door f afgebeeld worden op elementen uit het domein van g. Het domein van de samengestelde functie g(f(x)) is dus precies het invers beeld van dom(g) onder f:

\(\mbox{dom}\left( {g \circ f} \right) = {f^{ - 1}}\left( {\mbox{dom}\left( g \right)} \right)\)

aber

Rogier schreef:Ik neem aan dat je bijvoorbeeld iets bedoelt als
\(Im(f)=\rr^2\)
en
\(Dom(g)=\rr\)
?

In dat geval kan er van een samengestelde functie g o f geen sprake zijn.

Inderdaad, dat bedoelde ik (typo)

Ik zie dat er meestal met het codomein wordt gewerkt ipv met het beeld bij oefeningen.

Levert dat geen problemen op als bijvoorbeeld bld(f) C dom(g) C codom (f) (C= strikte deelverzameling)?

TD

Welk probleem bedoel je precies?

aber

Bijvoorbeeld:

Afbeelding

Als ik mij baseer op het codom(f) ipv op het bld(f) (of Im(f) om Rogier tevreden te stellen), dan zou ik het dom(f) moeten beperken terwijl dit niet het geval is als ik mij baseer

op het bld(f).

Ik vroeg mij ook af welke g o f van de 2 klopt:

Afbeelding

TD

aber schreef:Bijvoorbeeld:

Als ik mij baseer op het codom(f) ipv op het bld(f) (of Im(f) om Rogier tevreden te stellen), dan zou ik het dom(f) moeten beperken terwijl dit niet het geval is als ik mij baseer

op het bld(f).

Maar dat heb je toch niet nodig? Als je

Ik vroeg mij ook af welke g o f van de 2 klopt:

Waarom zou -2 niet mogen?

Phys

aber schreef:Bijvoorbeeld:

Als ik mij baseer op het codom(f) ipv op het bld(f) (of Im(f) om Rogier tevreden te stellen), dan zou ik het dom(f) moeten beperken terwijl dit niet het geval is als ik mij baseer op het bld(f).

Ik kan hier geen wijs uit. Het codomein en domein van f zijn onderdeel van de definitie van f, en kunnen dus niet veranderen.

\\edit: wat bedoel je met

\(\rr_0\)

? Waarschijnlijk

\(\rr\backslash\{0\}\)

, maar dat is een beetje verwarrend aangezien

\(\nn_0\)

juist

\(\nn\)

inclusief 0 betekent.

TD

Het domein van g o f kan sowieso niet groter zijn dan het domein van f. Aangezien dom(f) uit alle niet-negatieve reeële getallen bestaat, kan dom(g o f) sowieso geen negatieve getallen bevatten.

Misschien gebruik jij die notatie niet, maar

\(\rr_0 = \rr \setminus \left\{0\right\}\)

en dan is

\(\rr^+\)

alle x≥0,

\(\rr_0^+\)

alle x>0.

Edit: inmiddels aangepast blijkbaar, nu dan als reactie op je nieuwe vraag

TD

maar dat is een beetje verwarrend aangezien
\(\nn_0\)
juist
\(\nn\)
inclusief 0 betekent.

Vreemd, "hier" (hoe ik de notatie aangeleerd kreeg) niet hoor... Ik zie nu dat het op de Engelstalige wikipedia inderdaad zo staat. In België is het omgekeerd... Even hier gekeken, daar is het dan wel weer inclusief 0 als je de index 0 niet noteert, zowel voor N als voor Z.

Phys

Inderdaad even notatieverwarring/notatieverschil, ik bedacht me tijdens het typen wat bedoeld wordt. Dus TD's vraag blijft: waarom zou -2 niet mogen? -1 heb je juist uitgesloten omdat f(-1)=-2, en -2 zit niet in dom(g), hetgeen ook al tot uitdrukking komt in je expliciete functievoorschrift van g o f. Waarom ook nog -2 uitsluiten?

aber

Vergeet mijn eerste vraag

aangezien
\(\nn_0\)
Waarom zou -2 niet mogen?
Ik had beeld van het beperkte domein van f verward met het beperkte domein zelf.

Dus case closed.

Bedankt allen!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] samengestelde functie

[wiskunde] samengestelde functie

Re: [wiskunde] samengestelde functie

Re: [wiskunde] samengestelde functie

Re: [wiskunde] samengestelde functie

Re: [wiskunde] samengestelde functie

Re: [wiskunde] samengestelde functie

Re: [wiskunde] samengestelde functie

Re: [wiskunde] samengestelde functie

Re: [wiskunde] samengestelde functie

Re: [wiskunde] samengestelde functie

Re: [wiskunde] samengestelde functie

Re: [wiskunde] samengestelde functie

Re: [wiskunde] samengestelde functie

Re: [wiskunde] samengestelde functie

Re: [wiskunde] samengestelde functie