Springen naar inhoud

Cartesische vergelijking van vlak opstellen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

christopheb

    christopheb


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 juli 2009 - 21:53

Hoi,

Bij gebrek aan grafische voorstellingen in mijn universiteitscursus van hogere wiskunde, heb ik het bijzonder moeilijk om inzicht te krijgen in snijdende rechten en vlakken etc. Daarom mijn volgende vraag:

Stel je krijgt een cartesische vergelijking van een rechte:

x + 3y + z = 2
x + y + z = 0

samen met een punt waar een vlak door moet gaan: (-2,2,0).

Dan loop ik vast op de redenering hoe je hiervan een cartesische vergelijking van een vlak van moet maken. Persoonlijk zie ik dan twee manieren om dit op te lossen: via een parametervergelijking van het vlak waarbij ik 3 punten bepaal:

(-2,2,0) (gegeven)
(0,1,-1) (0+3.1-1 = 2)
(0,0,0) (0+0+0=0)

Dan hebben we dus een parametervergelijking x = (-2,2,0) + t1(2,-1,-1) + t2(2,-2,0).
Indien ik deze wil omzetten heb ik dus een normaal nodig loodrecht op de richtingsvectoren. Deze is berekenbaar. Echter moet ik dus a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0 opstellen. Probleem is dat ik dus wel a,b,c weet van de normaal, maar dan vraag ik mij af of ik zomaar (x,y,z) mag nemen van ťťn van die drie punten, en (x0,y0,z0) van een ander punt van die drie?

Stel dat we niet via omzetting willen werken, maar via rechtstreeks cartesische vergelijking opstellen, dan hebben we alweer a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0 op te stellen. Waar kan je in dit geval rechtstreeks een normaal aflezen?

Als laatste vraag ik mij het volgende af: voor een rechte heb je een cartesische vergelijking van de vorm LaTeX . Bestaat er ook een dergelijke formule voor een vlak?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 juli 2009 - 22:03

Stel je krijgt een cartesische vergelijking van een rechte:

x + 3y + z = 2
x + y + z = 0

Een rechte heeft niet ťťn cartesische vergelijking, maar een stelsel van (twee) cartesische vergelijkingen; namelijk gegeven als snijlijn van twee vlakken (elk met een cartesische vergelijking). Het is belangrijk dit in te zien, zodat je begrijpt waarom de voorstellingen zo zijn.

Probleem is dat ik dus wel a,b,c weet van de normaal, maar dan vraag ik mij af of ik zomaar (x,y,z) mag nemen van ťťn van die drie punten, en (x0,y0,z0) van een ander punt van die drie?

Die (x,y,z) zijn de onbekenden, die blijven in de vergelijking staan! De (x0,y0,z0) zijn de coŲrdinaten van een willekeurig punt van het vlak, daar mag je dus een punt van het vlak kiezen (bijvoorbeeld het gegeven punt).

Als laatste vraag ik mij het volgende af: voor een rechte heb je een cartesische vergelijking van de vorm LaTeX

. Bestaat er ook een dergelijke formule voor een vlak?

Dit is niet algemeen, waar is je z-component heen? Voor een rechte heb je:

LaTeX

Zo zie je weer dat je eigenlijk een stelsel van twee vergelijkingen hebt voor een rechte. Voor een vlak heb je dat dus niet, een vlak wordt gegeven door ťťn cartesische vergelijking (of een andere voorstelling natuurlijk, zoals een stelsel parametervergelijkingen).

Dit lijk me ook eerder meetkunde dan calculus, verplaatst...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

christopheb

    christopheb


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 juli 2009 - 09:32

Ok dat is al een heel stuk duidelijker, voornamelijk het invullen van de vergelijking van dat vlak baarde me zorgen ;)

Stel dat ik nu een parameter vergelijking van dat vlak moet maken met behulp van die drie punten, dan kan ik deze 3 punten gebruiken om in te vullen, maar zou ik uit het stelsel van de rechte ook een normaal kunnen berekenen, om deze in te vullen bij de parametervergelijking van het vlak?

Of anders, stel dat ik een parametervergelijking van een rechte heb, en ik moet een vlak opstellen door die rechte en een punt, is de richtvector van die parametervergelijking dan de (a,b,c) die bij a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0 dien in te vullen? Als ik het mij goed herinner is die (a,b,c) van de vergelijking een normaal op dat vlak, en staat deze loodrecht op de richtvector, maar als ik wil dat het vlak _door_ een rechte gaat, dan mag deze toch niet loodrecht zijn?

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 juli 2009 - 11:09

Je kan die richtingsvector inderdaad niet gebruiken als normaalvector. Uit de rechte kan je een richting en een punt halen, samen met het gegeven punt heb je daarmee genoeg voor het vlak (door een verschil van twee punten te maken, een van de rechte en het gegeven punt daarbuiten, heb je een tweede richting). Als je op basis van die twee richtingen een normaalvector wil, kan je het vectorieel product nemen (als je dat gezien hebt).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

christopheb

    christopheb


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 juli 2009 - 14:56

Het gebruik van 3 punten om een vlak op te stellen is inderdaad logisch.

Stel dat je het vectorieel product neemt van die 2 richtvectoren, dan krijg je een vector loodrecht op die richtvector. Indien je dan hiermee een vlak zou maken, dan gaat deze niet door de rechte, maar staat deze loodrecht op de rechte. Zie ik dat correct?

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 juli 2009 - 16:24

Als je het vectorieel product neemt van twee richtingsvectoren, krijg je een vector die loodrecht staat op beide richtingsvectoren. Je kan dit niet gebruiken als normaalvector van je vlak door die rechte, maar wel als een (van de twee) richtingsvectoren, aangezien die vector volgens de rechte ligt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

christopheb

    christopheb


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 juli 2009 - 16:10

Bedankt voor de uitleg TD, het is nu al heel wat duidelijker!

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 juli 2009 - 17:11

Okť, graag gedaan!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures