Springen naar inhoud

Bewijs dat een parabool bepaald is door drie punten.


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 februari 2004 - 12:16

Hallo,

Wie kan mij een bewijs leveren dat een tweedegraads functie een parabool dus bepaald is door drie punten?

Dank bij voorbaat.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Hallo1979

    Hallo1979


  • >1k berichten
  • 1172 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 februari 2004 - 12:29

een meer intuitief bewijs is: een parabool kan geschreven worden door. y = ax^2 +bx +c

Hierin zijn drie constanten die de vorm van de parabool bepalen: a, b en c. Die mogen elk willekeurig getal in R zijn. Om dus een parabool te beschrijven moet je die drie constanten weten. om drie onbekende op te lossen heb je drie vergelijkingne nodig of tewel drie punten!
"If you wish to make an apple pie truly from scratch, you must first invent
the universe." -- Carl Sagan (US physicist and astronomer,1934-1999)

#3

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 februari 2004 - 12:46

Het is juist daarom ik wil van een getekende parabool een functie voorschrift maken op school doen ze dat dmv allerlei formuletjes alleen wil ik deze niet onthouden als ik nu een bewijs vond waarmee ik duidelijk kon aantonen dat een parabool door zijn drie punten bepaald is dan kan die methode met drie vergelijkingen onmogelijk fout zijn.

en nog iets is ooit de algemene formule ooit bewezen?
(het is niet om te wringen maar al die formulletjes onthouden en als het dan op een logische andere manier kan is het toch ook goed hé)

#4

Hallo1979

    Hallo1979


  • >1k berichten
  • 1172 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 februari 2004 - 12:53

hoeveel formules zijn er dan??? ik ken alleen de abc-formule en zo moeilijk is die niet.
"If you wish to make an apple pie truly from scratch, you must first invent
the universe." -- Carl Sagan (US physicist and astronomer,1934-1999)

#5

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 februari 2004 - 13:56

ja de discriminant ken ik ook wel
d=b^2-4ac

maar nu heb je er ook één die de symmetrie bepaald
die de top bepaald (alhoewel je dat ook kunt met de afgeleide)
en a dan die kan je meestal afleiden uit de tek omdat je meer dan één parraboolke krijgt waaronder één met gekend voorschrift.
Volgens mij ben je sneller af met drie vergelijkingtjes die je dan snel oplost (eventueel met de eliminatie methode van gauss)
Dus zo'n bewijs is nog altijd welkom.

#6

arjesara

    arjesara


  • >250 berichten
  • 259 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 februari 2004 - 17:36

Het bewijs is eigenlijk simpel: Een functie met 1 onafhankelijke variabele van graad n is bepaald door n+1 punten. Met minder punten is deze niet te bepalen omdat dan nl. de oplossing onbepaald is (een vergelijking met twee onbekenden is niet op te lossen) en met meer punten is er een onzekerheid in de puntenwolk.

#7


  • Gast

Geplaatst op 09 maart 2004 - 19:31

Op de volgende website staat ook een uitleg over het opstellen van verschillende functies en een bewijs voor de abc-formule:
www.wiskunde-info.tk

#8


  • Gast

Geplaatst op 09 maart 2004 - 20:50

Hallo,

Wie kan mij een bewijs leveren dat een tweedegraads functie een parabool dus bepaald is door drie punten?

Dank bij voorbaat.

probeer te bewijzen dat er geen driepunten bestaan die op meer dan één parabool liggen.

#9


  • Gast

Geplaatst op 09 maart 2004 - 20:58

Hallo,

Wie kan mij een bewijs leveren dat een tweedegraads functie een parabool dus bepaald is door drie punten?

Dank bij voorbaat.

probeer te bewijzen dat er geen driepunten bestaan die op meer dan één parabool liggen.

ff denken stel de punten (m,n) , (o,p) en (q,r) op een parabool met de formule ax^2+bx+c
er geldt
am^2+bm+c=n en ao^2+bo+c=p en aq^2+bq+c=r
dus a(m^2+o^2+q^2) b(m+o+q)+3c=n+p+r

stel dat de drie punten op een andere parabool liggen: een parabool met de formule a'x^2+b'x^2+c
er geldt dus a'(m^2+o^2+q^2)+3c'=n+p+r
dus:
a(m^2+o^2+q^2)+3c =a'(m^2+o^2+q^2)+ b'(m+o+q)3c'
en dat betekent dat a=a' , b=b' en c=c'
dus de driepunten (m,n) , (o,p) en (q,r) kunnen op maar één parabool liggen.

#10


  • Gast

Geplaatst op 09 maart 2004 - 21:00

oops b'(m+o+q)3c' moet zijn b'(m+o+q)+3c'

#11


  • Gast

Geplaatst op 09 maart 2004 - 22:33

je kunt je ook afvragen wanneer drie punten op een parabool liggen:

drie punten kunnen nooit dezelfde y-coordinaten hebben.
twee of drie punten kunnen nooit dezelfde x-coordinaten hebben.
het bewijs van de vorige 'stellingen' kan je zo vinden, neem ik aan.
maar ik weet niet precies of dat wel/niet helpt bij je bewijs..

bedoel je met je vraag: bewijs dat drie verschillende punten genoeg zijn om de formule voor de parabool door die 3 punten te bepalen...?

#12

Bruce

    Bruce


  • >100 berichten
  • 200 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 maart 2004 - 01:03

Even vanuit de analytische meetkunde (misschien handig als aanvulling maar ook gewoon leuk):

Een parabool is de conflictlijn van een lijn en een punt. Dus als je een lijn tekent (opgezet doormiddel van 2 punten) en een punt buiten die lijn (derde punt) tekent, dan vormen alle punten die op gelijke afstand van de lijn en het derde punt liggen een parabool. Het punt buiten de lijn is het brandpunt van de parabool.
Het bewijs hiervoor maak je door de conflictlijn te tekenen tussen een lijn en een punt en te laten zien dat uit de verkregen punten verzameling een kwadratisch verband bestaat tussen de x- en de y-waarden van die punten. Het is handig om de een van de assen te kiezen op de lijn waarmee je begon. Door even wat lijntjes tekenen en pythagoras toe te passen vormt zich |y|^2=|x|^2+(|y|-|a|)^2. (a is constante) Dit is om te schrijven naar x^2=2ay-a^2 = by+c wat de algemene formule voor een parabool is.

#13


  • Gast

Geplaatst op 11 maart 2004 - 12:52

je kunt het punt A de top van de parabool ook beschouwen als de top van een driehoek. B en C zijn punten op de parabool met dezelfde y-coordinaten. De driehoek ABC is een gelijkbenig driehoek ( kan ook gelijkzijdig zijn) ..( bewijs is niet moeilijk...)
en zo kun je de driepunten a,b en c bestuderen ...ect...





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures