Wetenschapsforum

De bedoeling is de Greense functie voor de operator ∂/∂x te vinden met randvoorwaarde:

lim (met x -> - oneindig ) van G(x,x') = 0

Vertrekkende van ∂/∂x(G(x,x')) = δ(x-x’)

Als we G(x,x') vervangen door zijn fouriergetransformeerde G(k,k') dmv

G(x,x') = 1/sqrt(2* pi.gif ) *int(G(k,k')*exp(ikx)dk)

(met int(...) is de integraal van -oneindig naar +oneindig)

en δ(x-x’) door 1/2* pi.gif *int(exp(ik(x-x')dk)

dan krijgen we

1/sqrt(2* pi.gif ) int(G(k,k')*(ik)*exp(ik(x-x'))) = 1/2* pi.gif *int(exp(ik(x-x')dk)

en dus:

G(k,k')*(ik)*exp(ik(x-x')) = 1/sqrt(2* pi.gif ) *exp(ik(x-x')

en dus:

G(k,k')*(ik) = 1/sqrt(2* pi.gif )

en dus:

G(k,k') = 1/i*k*sqrt(2* pi.gif )

Met de inverse transformatie is:

G(x,x') = 1/sqrt(2* pi.gif ) *int((1/sqrt(2* pi.gif ) / ik)*exp(ikx)dk)

= 1/i*(2* pi.gif ) *int((1/k)*exp(ikx)dk)

Die integraal = int(cos(kx) / k)dk + i*int(sin(kx) / k)dk

= int(cos y / y)dy + i*int(sin y / y)dy (met transformatie kx = y)

= int(oneven functie tussen tegengestelde grenzen) +i*int(even functie tussen tegengestelde grenzen)

= 0 + i*2*(integraal van 0 naar +oneindig van sin y / y)

= i*2* pi.gif /2

en dus zou G(x,x) = 1/2

Wat dus eigenlijk de Heaviside functie zou moeten uitgekomen zijn.

En dan is er ook nog het probleem dat die randvoorwaarde niet eens gebruikt is.