Springen naar inhoud

[wiskunde] inverse functies


  • Log in om te kunnen reageren

#1

aber

    aber


  • >100 berichten
  • 156 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 juli 2009 - 14:40

Er worden blijkbaar verschillende visies gehanteerd om te bepalen wanneer een inverse van een functie f ook een functie is

visie 1 zegt:
Geplaatste afbeelding

visie 2 zegt:
Geplaatste afbeelding


Dat visie 2 wordt gebruikt dat begrijp ik niet:
Stel
Geplaatste afbeelding

Als ik de pijlen omdraai van B naar A, dan heeft a4 geen beeld en dus kan de inverse toch geen functie (dus enkel een relatie) zijn?


Weet er iemand hoe dit verschil precies valt te verklaren?
Volgens mij heeft het iets te maken met het het gebruik van codomein en beeld in de definitie van inverse??

EDIT: op deze pagina wordt hetzelfde probleem voorgelegd, de uitleg die daar gegeven wordt is voor mij niet echt bevredigend

Veranderd door aber, 27 juli 2009 - 14:44


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 juli 2009 - 14:56

Visie 1 is formeel correct. Visie 2 is eigenlijk hetzelfde, alleen gaat men er dan impliciet vanuit dat je het codomein van f gelijk maakt aan het beeld (dus je maakt de functie gewoon surjectief door het codomein voldoende te beperken).

Dus in jouw voorbeeld: LaTeX is injectief, maar niet surjectief. Maar LaTeX is natuurlijk wel surjectief, dus de inverse LaTeX bestaat.
Net als in je vorige topic, krijg je hier weer het verschijnsel dat er in de praktijk wat los wordt omgesprongen met het codomein.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#3

aber

    aber


  • >100 berichten
  • 156 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 juli 2009 - 09:06

Oh, op die manier.
Maar dit geeft toch een verschil als ik bv. moet bepalen of de inverse functie van een functie bestaat. Bij visie 1 moet de functie f bijectief zijn opdat de inverse functie van een functie f bestaat. Bij visie 2 moet de functie f injectief zijn en maak ik de functie ook surjectief door het codomein te beperken opdat de inverse van een functie f ook een functie is.
Dus dan komen er toch veel meer functies in aanmerking om een inverse functie te hebben in visie 2 dan bij visie 1, omdat ik bij visie 2 het codomein van f mag beperken tot het beeld en bij visie 1 de functie f al van in de opgave injectief ťn surjectief moet zijn.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 juli 2009 - 09:29

Als je 'netjes' met functies werkt, dus je specifieert domein en codomein aangezien deze strikt genomen onderdeel zijn van de definitie van de functie, dan moet je functie bijectief zijn. We hebben dan immers dat als een functie

LaTeX

een inverse heeft, dat deze gaat van B naar A. Opdat die functie

LaTeX

bestaat voor elke b in B, moet f daar een beeld hebben (dus moet er een a in A zijn zodat f(a) = b).

Stel bijvoorbeeld dat je de volgende functie beschouwt:

LaTeX

We weten dat exp als inverse ln heeft (problematiek van domein/codomein even buiten beschouwing gelaten), dus dan zou de inverse gegeven worden door (ik wissel domein en codomein, maar die zijn hier nu toevallig gelijk genomen...):

LaTeX

Maar dit is problematisch, aangezien deze functie niet goed gedefinieerd is (ln bestaat helemaal niet voor negatieve getallen!).

Maar die exp waar we van vertrokken was wel injectief (verschillende argumenten hebben steeds verschillende beelden). Dus als we gewoon de reŽelwaardige functie exp op =D> bekijken (geen codomein gespecifieerd), dan kunnen we deze altijd inverteren als we als domein van de inverse functie, het beeld van exp beschouwen. Eigenlijk maak je exp dus impliciet surjectief (door het codomein gelijk aan het beeld te nemen) en dus ook bijectief!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

aber

    aber


  • >100 berichten
  • 156 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 juli 2009 - 10:19

Ik begrijp wel hoe het in elkaar zit, het is degelijk uitgelegd door jullie beiden. Het enige probleem dat ik heb is het volgende:
Stel dat je aanneemt dat de functie f bijectief moet zijn opdat de inverse functie bestaat
Als je bv. een functie f hebt
Geplaatste afbeelding
de functie moet bijectief zijn maar dat is ze niet
omdat ze niet surjectief is vermits
Geplaatste afbeelding

Dus de inverse functie van f bestaat dan strikt gezien toch niet.
Als ik het codomein van f zou beperken tot het beeld dan kan het wel, maar ik vraag me af
of de bekomen inverse functie (dus de inverse functie van f waarvan het codomein beperkt is tot het beeld) dan wel nog de inverse functie van de originele functie f?

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 juli 2009 - 10:24

Dus de inverse functie van f bestaat dan strikt gezien toch niet.

Inderdaad.

Als ik het codomein van f zou beperken tot het beeld dan kan het wel, maar ik vraag me af
of de bekomen inverse functie (dus de inverse functie van f waarvan het codomein beperkt is tot het beeld) dan wel nog de inverse functie van de originele functie f?

Nee, net om de reden die ik m'n vorig bericht probeerde te benadrukken: strikt genomen zijn domein en codomein een expliciet onderdeel van de definitie van de functie. Je bent dus niet met dezelfde functie bezig, ook al hebben ze hetzelfde voorschrift.

LaTeX

LaTeX

Hier zijn f en g dus verschillende functies! En f heeft geen inverse, g wel. Die inverse van g is dus geen inverse van f.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

aber

    aber


  • >100 berichten
  • 156 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 juli 2009 - 11:22

Nee, net om de reden die ik m'n vorig bericht probeerde te benadrukken: strikt genomen zijn domein en codomein een expliciet onderdeel van de definitie van de functie. Je bent dus niet met dezelfde functie bezig, ook al hebben ze hetzelfde voorschrift.

LaTeX



LaTeX

Hier zijn f en g dus verschillende functies! En f heeft geen inverse, g wel. Die inverse van g is dus geen inverse van f.


Ja, OK.
Als je nu aanneemt dat de functie f injectief moet zijn opdat de inverse functie bestaat en je daarna het codomein van f nog moet beperken (zodat je dus een andere functie g bekomt), dan is de inverse functie die je bekomt de inverse functie van g en niet van f.

Dan wordt daar wel los mee omgesprongen ( ook in degelijke cursussen).


Geplaatste afbeelding
Dus de inverse functie bestaat niet voor bovenstaande f, voor f bestaat er enkel een inverse relatie die geen inverse functie uitmaakt.

(ik ga ervan uit dat de notatie Geplaatste afbeelding niet noodzakelijk een functie is)

#8

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 juli 2009 - 13:26

Je begrijpt het volledig (de hele tijd al), en visie 2 springt dus inderdaad los om met deze zaken. Zij doen in feite alsof f:A->B en g:A->f(A) dezelfde functies zijn, maar dat zijn ze zoals gezegd natuurlijk niet (behalve in het bijzondere surjectieve geval f(A)=B). Zolang je het begrijpt en duidelijk bent in je uitleg waarom een functie wel of niet bijectief is, zullen er geen problemen ontstaan.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#9

aber

    aber


  • >100 berichten
  • 156 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 juli 2009 - 16:14

Ok, het bovenstaande begrijp ik nu volledig, bedankt. Op naar het volgende twijfelgeval.


Kloppen deze beweringen allebei? (volgens mij klopt enkel de eerste bewering)

Geplaatste afbeelding

Geplaatste afbeelding

Hoe kan ik snel zien zonder formeel te bewijzen (bv. aan de hand van waarheidstabellen) of deze beweringen waar zijn?
Of kan dit enkel door de (negatie van) bewering te bewijzen aan de hand van bewuijstechnieken voor een implicatie (rechtstreeks bewijs, contrapositie, bewijs uit het ongerijmde, ...).

#10

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 juli 2009 - 16:36

Ze zijn beide waar. Bewijs: triviaal ;)

Kijk, f is bijectief dan en slechts dan als f inverteerbaar is. Inverteerbaar wil zeggen: er is een g zodat f(g(x))=x en g(f(x))=x voor alle x (ik laat even domein en codomein ongespecificeerd omdat dat wel duidelijk is uit de rest van het topic).

Stel f is bijectief. Dan is f inverteerbaar. Dus er is g zodat f(g(x))=x en g(f(x))=x voor alle x. Dus voor de functie g bestaat er een inverse functie, namelijk f !!, zodat g(f(x))=x en f(g(x))=x voor alle x. Dus g is inverteerbaar, met inverse f. Dus g is bijectief.

Precies dezelfde redenering geldt voor f en g omgewisseld! Dit komt natuurlijk omdat (f-1)-1=f.

Trouwens, als je zegt "de inverse functie f-1 is bijectief", ga je er al vanuit dat f een inverse functie f-1 heeft. Dus je neemt impliciet aan dat f inverteerbaar, dus bijectief is. Dus de tweede uitspraak is niet eens een uitspraak =D>
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#11

aber

    aber


  • >100 berichten
  • 156 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 juli 2009 - 13:41

Ze zijn beide waar. Bewijs: triviaal ;)


Inderdaad ... bedankt!





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures