Springen naar inhoud

[wiskunde] hoe bepaal je het best het aantal nulpunten bij een derdegraads / veeltermfunctie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Fons

    Fons


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 juli 2009 - 13:39

Hallo iedereen,

Wederom een klassieker van het toelatingsexamen; het bepalen van de hoeveelheid (en vaak ook, welke) nulpunten van een veeltermfunctie. Het examenmoment van augustus had de volgende, zie bijlage, in petto (bron: toelatingsexamen.110mb.com).

En weer kwam ik er niet uit.

Wat dien je hier precies te doen?

Wat dien je hier buiten haakjes te halen zodat je kunt zeggen: 'eerste deel' is gelijk aan 0 indien X de volgende waarde heeft. Voor het 'tweede deel' doe je hetzelfde en dan bekom je uiteindelijk het totaal aantal nulpunten.

Of dienen wij hier eerst Euclidische deling (of de methode van Horner) (maar dat is misschien tegelijkertijd ook een ander verhaal?!) toe te passen.

Hij of zij die nog andere voorbeelden weet, mag dat mij vertellen. Wordt alvast super gewaardeerd!

Ben heel benieuwd!

Alvast bedankt!

Fons

PS. Nikske heeft eerder een vergelijkbaar topic opgestart. Die som (in de vorm van a,b,c etc) snap ik echter prima. Vandaar dus nog even dit aparte topic.
PPS. Excuses indien dit onderwerp al eens eerder is behandeld.

Bijgevoegde afbeeldingen

  • Bepaal_aantal_nulpunten_veeltermfunctie.jpg

Veranderd door Fons, 31 juli 2009 - 13:40


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 juli 2009 - 13:43

Voor een kwadratische veelterm kan je dit direct nagaan met behulp van de discriminant, voor een veelterm van de derde graad zal je zelf eerst een nulpunt moeten vinden. Eens je dat nulpunt hebt, kan je delen (of Horner) en op de overblijvende (kwadratische) factor de discriminant loslaten. Merk op dat een veelterm van de derde graad altijd een nulpunt heeft. Voor dat eerste nulpunt kun je 'gericht gokken': delers van de constante term (die is hier 9) zijn kandidaten.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

nikske

    nikske


  • >250 berichten
  • 265 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 juli 2009 - 16:49

Voor horner: de mogelijke kandidaten zijn: 1,-1,3,-3,9,-9
Vul ze een voor een in in je voorschrift en dewelke als uitkomst 0 geven zijn delers.
Deel dan, en gebruik dan nog eens horner op je 2e graads of gebruik dan de discriminant.
Etiam capillus unus habet umbram suam.

#4

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 juli 2009 - 17:16

Voor horner: de mogelijke kandidaten zijn: 1,-1,3,-3,9,-9

1 en -1 als nulpunten zijn hier echter al onmiddellijk uit te sluiten.

Immers, is 1 een nulpunt, dan is de som van de coŽfficiŽnten gelijk aan 0 en is -1 een nulpunt dan is de som van de coŽfficiŽnten van de termen met even machten gelijk aan de som van de coŽfficiŽnten van de termen met oneven machten. Geen van beide is hier het geval (LaTeX en LaTeX ).

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#5

Fons

    Fons


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 augustus 2009 - 18:24

Allereerst iedereen bedankt voor de vlugge reactie.

Helaas blijft het vraagstuk me alsnog een groot raadsel. Jullie gaan me namelijk zowat alle punten even iets te snel :P.

Voor een kwadratische veelterm kan je dit direct nagaan met behulp van de discriminant.

Dus indien D<0 heb je minstens 1 snijpunt en dus ook minsten 1 nulpunt? Bedoel je dit?

Voor een veelterm van de derde graad zal je zelf eerst een nulpunt moeten vinden.

Hoe doen we dat? :P

Voor een veelterm van de derde graad zal je zelf eerst een nulpunt moeten vinden.Eens je dat nulpunt hebt, kan je delen (of Horner) en op de overblijvende (kwadratische) factor de discriminant loslaten.

Wat bedoel je met delen?
En wat versta je onder het loslaten van de discrimant op de overblijvende factor?

Heb je daar toevallig een voorbeeld (of meer) van.

Merk op dat een veelterm van de derde graad altijd een nulpunt heeft.

Want? Indien dat te ingewikkeld wordt, neem ik het gewoon aan ;).

Voor dat eerste nulpunt kun je 'gericht gokken': delers van de constante term (die is hier 9) zijn kandidaten.

Kun je dat een keer voordoen?

En waar in dit alle komt Horner precies van pas? Moet je die gebruiken? (/ Moet ik mij die techniek nog eigen maken?)

Hoor het graag!

Fons

PS. Afgelopen dagen heb ik verschillende bronnen middels dit vraagstuk geraadpleegd hopende het zelf te kunnen oplossen, maar die brengen me allemaal alleen maar meer verwarring en onduidelijkheid. Vandaar bovenstaande post. Ik hoop dat jullie me kunnen helpen! Super bedankt alvast!

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 augustus 2009 - 18:33

Dus indien D<0 heb je minstens 1 snijpunt en dus ook minsten 1 nulpunt? Bedoel je dit?

Een kwadratische veelterm heeft geen nulpunt voor D<0, een voor D=0 en twee voor D>0.

Hoe doen we dat? ;)

Eerst verder lezen: "Voor dat eerste nulpunt kun je 'gericht gokken': delers van de constante term (die is hier 9) zijn kandidaten." Ga bijvoorbeeld eens na of -3 of 3 een nulpunt is. Dat doe je door x hierdoor te vervangen en dan gewoon uitrekenen.

Wat bedoel je met delen?

Euclidische deling, staartdeling, schema van Horner gebruiken; eigenlijk komt dat allemaal op hetzelfde neer. Als x = a een nulpunt is, dan is de veelterm deelbaar door (x-a), of nog: je kan de veelterm schrijven als (x-a)*(nieuwe veelterm van een graad lager).

En wat versta je onder het loslaten van de discrimant op de overblijvende factor?

Als je bovenstaande doet, is die nieuwe factor van de tweede graad. Het bepalen van het aantal nulpunten van die factor kan gemakkelijk met de discriminant.

Want? Indien dat te ingewikkeld wordt, neem ik het gewoon aan :P.

Zo'n veeltermfunctie is continu en voor x voldoende groot, zal een veelterm van de derde graad het teken van de hoogstegraadscoŽfficiŽnt krijgen; voor x voldoende klein het tegengesteld teken. Ergens daartussen moet de functie minstens een keer door de x-as, daar is een nulpunt.


En waar in dit alle komt Horner precies van pas? Moet je die gebruiken? (/ Moet ik mij die techniek nog eigen maken?)

Dat is bij dit soort opgaven wel nuttig ja. Uitleg over en voorbeelden van dat schema van Horner vind je gemakkelijk na even zoeken (hier op WSF, op Wisfaq of zelf even met google).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Fons

    Fons


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 augustus 2009 - 19:23

Dank voor de reactie!

Eerst verder lezen: "Voor dat eerste nulpunt kun je 'gericht gokken': delers van de constante term (die is hier 9) zijn kandidaten." Ga bijvoorbeeld eens na of -3 of 3 een nulpunt is. Dat doe je door x hierdoor te vervangen en dan gewoon uitrekenen.


Wat eigenlijk wilde zeggen is dat ik eigenlijk nog niet weet wat bedoelt wordt met: 'delers van de constante term'.

De constante term is het getal 'achteraan' de veeltermfunctie.
Dus bij wijze van voorbeeld:
x^2+25 is 25 de constante term en bij x^3-36 is dat -36 (en niet 36?).

De delers van de constante term zijn dan alles waarvan het kwadraat die waarde als resultaat heeft.

Toegespitst op het voorbeeld:
Delers bij voorbeeld 1: -5 en 5
Delers bij voorbeeld 2: --6 en 6

Klopt dat?

Fons

PS. Verdere opmerkingen volg ik ;).

#8

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 augustus 2009 - 19:27

x^2+25 is 25 de constante term en bij x^3-36 is dat -36 (en niet 36?).

Dat klopt.

De delers van de constante term zijn dan alles waarvan het kwadraat die waarde als resultaat heeft.

Neen, de delers van die constante term zijn de getallen, waarvan het quotiŽnt met de constante term een geheel getal is. Iets formeler.

De delers van 25 zijn 5, -5, 1, -1, 25 en -25.
De delers van 36 zijn -36, -18, -12, -9, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 en 36.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#9

Fons

    Fons


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 augustus 2009 - 19:37

De delers van 25 zijn 5, -5, 1, -1, 25 en -25.


Want 'in woorden':
25 gedeeld door 5 = 5 en dat is een geheel getal
25 gedeeld door -5 =-5 en dat is een geheel getal

Etc.

Ja ;)?

Fons

#10

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 augustus 2009 - 19:40

Klopt! Lukt het nu?

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 augustus 2009 - 19:46

Begrijp je nu waarom dit de kandidaten zijn? Probeer ze eens.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

Fons

    Fons


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 augustus 2009 - 20:03

HET KOMT UIT :P!

Drie nulpunten. 1tje volgt uit mijn vriend 'deler van constante term'. De twee andere volgende uit de deling volgende tweedegraadsvergelijking. De discriminant is er namelijk groter dan 0.

Om de een of andere reden heeft de scanner even geen 'goesting', dus op het beeld moeten we nog even wachten. Kom ik dus nog op terug.

Nog een keer SUPER bedankt!!

Fons

Begrijp je nu waarom dit de kandidaten zijn? Probeer ze eens.


Ja :P! Ik ga ze proberen. (En dan meteen Horner leren!) Maar ik weet nog niet of me dat vanavond al lukt. Kom ik nog op terug ;)!

Fons

#13

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 augustus 2009 - 20:08

HET KOMT UIT ;)!

Drie nulpunten. 1tje volgt uit mijn vriend 'deler van constante term'. De twee andere volgende uit de deling volgende tweedegraadsvergelijking. De discriminant is er namelijk groter dan 0.

Mooi. Over welke opgave heb je het overigens? Niet die uit de openingspost neem ik aan.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#14

Fons

    Fons


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 augustus 2009 - 13:58

Deze bedoelde ik:

Pagina 1:
Geplaatste afbeelding

Pagina 2:
Geplaatste afbeelding

Wil iemand ze voor de zekerheid nog even overlopen? Alvast bedankt!

Fons

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 augustus 2009 - 14:14

Het klopt dat x=3 een nulpunt is, dus (x-3) een factor in de ontbinding, maar het gaat mis bij het ontbinden/delen.

Je schrijft: (x-3)(2x≤-3x-9), maar als ik dat uitwerk wordt de constante term al 27 en die was -9...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures