Springen naar inhoud

[wiskunde] Eigenschappen samengestelde functie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

aber

    aber


  • >100 berichten
  • 156 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 augustus 2009 - 09:34

Ik vraag mij af of de volgende beweringen gelden

alle functies waaruit een samengstelde functie bestaat zijn injectief ASA de samengestelde functie injectief is


alle functies waaruit een samengstelde functie bestaat zijn surjectief ASA de samengestelde functie surjectief is


alle functies waaruit een samengstelde functie bestaat zijn bijectief ASA de samengestelde functie bijectief is

(ASA= als en slechts als)



Bv. Beschouw functies

Geplaatste afbeelding

Als ik algebraďsch wil nagaan of f injectief is:

Geplaatste afbeelding


Omdat f= f1 o f2 is, zou ik dus obv de stelling:
alle functies waaruit een samengstelde functie bestaat zijn injectief asa de samengestelde functie injectief is
kunnen stellen dat f1 niet injectief is en dus dat de functie f dat ook niet zal zijn.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 augustus 2009 - 18:02

In plaats van een voorbeeld te zoeken dat je stelling ondersteunt, kun je beter proberen een tegenvoorbeeld te bedenken, of natuurlijk een bewijs proberen te geven. Ik zal een richting (de eenvoudige) doen:

Stelling: Stel f en g zijn injectief. Dan f o g ook.
Bewijs: Veronderstel (f o g)(x)=(f o g)(y). Dan f(g(x))=f(g(y)). Dus g(x)=g(y) op grond van injectiviteit van f. Dus x=y op grond van injectiviteit van g. LaTeX

Stelling: Stel f:B->C en g:A->B zijn surjectief. Dan (f o g):A->C ook.
Bewijs: Zij LaTeX . f is surjectief dus LaTeX zodat LaTeX . g is surjectief dus LaTeX zodat LaTeX . Dus LaTeX , dus f o g is surjectief.LaTeX

Uit deze twee volgt dus ook
Stelling: Stel f en g zijn bijectief. Dan f o g ook.

Probeer nu de andere richting eens. Als een bewijs niet lukt, zul je wellicht zien waar het mis gaat en op basis daarvan een tegenvoorbeeld kunnen geven. Omgekeerd, als je telkens maar geen tegenvoorbeeld kunt bedenken, zou de stelling misschien wel eens waar kunnen zijn, dus kun je een bewijs proberen te geven. ;)
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#3

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 augustus 2009 - 23:08

Tegenvoorbeeld voor alle stellingen tegelijk (de andere richting op):

Definieer A={1,2}, B={3,4,5}, C={6,7}.
Definieer g:A->B door g(1)=3, g(2)=4
Definieer f:B->C foor f(3)=6, f(4)=7, f(5)=7

Dan is (f o g):A->C gedefinieerd door (f o g)(1)=6 en (f o g)(2)=7.

(f o g) is injectief, maar f niet.
(f o g) is surjectief, maar g niet.
(f o g) is bijectief, maar f en g niet.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures