[wiskunde] Eigenschappen samengestelde functie

aber

Ik vraag mij af of de volgende beweringen gelden

alle functies waaruit een samengstelde functie bestaat zijn injectief ASA de samengestelde functie injectief is

alle functies waaruit een samengstelde functie bestaat zijn surjectief ASA de samengestelde functie surjectief is

alle functies waaruit een samengstelde functie bestaat zijn bijectief ASA de samengestelde functie bijectief is

(ASA= als en slechts als)

Bv. Beschouw functies

Afbeelding

Als ik algebraïsch wil nagaan of f injectief is:

Afbeelding

Omdat f= f1 o f2 is, zou ik dus obv de stelling:

alle functies waaruit een samengstelde functie bestaat zijn injectief asa de samengestelde functie injectief is

kunnen stellen dat f1 niet injectief is en dus dat de functie f dat ook niet zal zijn.

Phys

In plaats van een voorbeeld te zoeken dat je stelling ondersteunt, kun je beter proberen een tegenvoorbeeld te bedenken, of natuurlijk een bewijs proberen te geven. Ik zal een richting (de eenvoudige) doen:

Stelling: Stel f en g zijn injectief. Dan f o g ook.

Bewijs: Veronderstel (f o g)(x)=(f o g)(y). Dan f(g(x))=f(g(y)). Dus g(x)=g(y) op grond van injectiviteit van f. Dus x=y op grond van injectiviteit van g.

\(\square\)

Stelling: Stel f:B->C en g:A->B zijn surjectief. Dan (f o g):A->C ook.

Bewijs: Zij

\(x_1\in C\)

. f is surjectief dus

\(\exists x_2\in B\)

zodat

\(f(x_2)=x_1\)

. g is surjectief dus

\(\exists x_3\in A\)

zodat

\(g(x_3)=x_2\)

. Dus

\(f(g(x_3))=x_1\)

, dus f o g is surjectief.

\(\square\)

Uit deze twee volgt dus ook

Stelling: Stel f en g zijn bijectief. Dan f o g ook.

Probeer nu de andere richting eens. Als een bewijs niet lukt, zul je wellicht zien waar het mis gaat en op basis daarvan een tegenvoorbeeld kunnen geven. Omgekeerd, als je telkens maar geen tegenvoorbeeld kunt bedenken, zou de stelling misschien wel eens waar kunnen zijn, dus kun je een bewijs proberen te geven.

Phys

Tegenvoorbeeld voor alle stellingen tegelijk (de andere richting op):

Definieer A={1,2}, B={3,4,5}, C={6,7}.

Definieer g:A->B door g(1)=3, g(2)=4

Definieer f:B->C foor f(3)=6, f(4)=7, f(5)=7

Dan is (f o g):A->C gedefinieerd door (f o g)(1)=6 en (f o g)(2)=7.

(f o g) is injectief, maar f niet.

(f o g) is surjectief, maar g niet.

(f o g) is bijectief, maar f en g niet.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] Eigenschappen samengestelde functie

[wiskunde] Eigenschappen samengestelde functie

Re: [wiskunde] Eigenschappen samengestelde functie

Re: [wiskunde] Eigenschappen samengestelde functie