[wiskunde] vergelijking kromme

Tudum

Ik ben (nog steeds) bezig met het maken van een test die peilt naar de wiskundekennis die je hebt overgehouden aan het middelbaar, en ik zit vast bij een van de oefeningen van die test.

Gegeven is de volgende kromme

\(\begin{array}{cccc} c:\ &{\mathbb R}\ &\to &{\mathbb R}^2\\ &t\ &\mapsto &(t^3,t^2) \end{array}\)
Wat is de raakvector aan deze kromme in het punt (1,
\(\frac{1}{2}\)
)?

Kies een antwoord

A. (12,3);

B. (0,0);

C. (1,5);

D. (3,2);

E. (3,1);

Ik snap niet goed hoe de vergelijking achter c een kromme voorstelt.

Van wat ik al heb opgezocht, dacht ik:

dat R betekende dat er een vector was met één component ((t)?), die omgezet werd in een vector met twee componenten (want R²), en dat zou dan (t², t³) zijn?

Maar nu snap ik niet hoe je daarmee kunt bepalen wat de raakvector aan de kromme is. Hoe zet je die vergelijking om naar een functievoorschrift? Of moet dat niet?

thermo1945

De kromme wordt in parametervorm gegeven; t is de parameter.

x = t³ en y = t².

Als je uit deze twee vergelijkingen t elimineert, dan vind je een relatie tussen x en y.

Die relatie is de vergelijking van een kromme.

(Kwadrateer de eerste vergelijking en verhef de twee tot de derde macht, dan is de rest een makkie!

Je kunt ook steeds een andere t invullen en dan vind je steeds de bijbehorende punten (x,y).

Tudum

thermo1945 schreef:De kromme wordt in parametervorm gegeven; t is de parameter.

x = t³ en y = t².

Als je uit deze twee vergelijkingen t elimineert, dan vind je een relatie tussen x en y.

Die relatie is de vergelijking van een kromme.

(Kwadrateer de eerste vergelijking en verhef de twee tot de derde macht, dan is de rest een makkie!

Je kunt ook steeds een andere t invullen en dan vind je steeds de bijbehorende punten (x,y).

Bedankt voor je reactie!

Ik denk dat ik snap hoe je een voorschrift van de "y = ..."-vorm uit dat voorschrift moet halen (dat is toch wat je uitlegde he?), maar ik snap niet helemaal waarom je dat moet doen.

Mocht er nu

\(\begin{array}{cccc} c:\ &{\mathbb R}^2\ &\to &{\mathbb R}^2\\ &(t^2,t)\ &\mapsto &(t^3,t^2) \end{array}\)

gestaan hebben bijvoorbeeld (als dat al kan), hoe moest je dat dan opgelost hebben? Wat doe je met die t van voor de pijl in de oorspronkelijke vergelijking?

TD

Bij zo'n parametervoorstelling is het soms mogelijk om de parameter te elimineren en een expliciet voorschrift f(x,y) = 0 of zelfs y = f(x) te noteren, maar dat zal niet altijd lukken. Het is ook niet nodig om de raakvector te bepalen, want dat kan ook op basis van deze parametervoorstelling. Weet je hoe je aan zo'n raakvector geraakt, denk aan de afgeleide.

Tudum

Bij zo'n parametervoorstelling is het soms mogelijk om de parameter te elimineren en een expliciet voorschrift f(x,y) = 0 of zelfs y = f(x) te noteren, maar dat zal niet altijd lukken. Het is ook niet nodig om de raakvector te bepalen, want dat kan ook op basis van deze parametervoorstelling. Weet je hoe je aan zo'n raakvector geraakt, denk aan de afgeleide.

Moet je (t³, t²) dan afleiden naar t (=> (3t², 2t)?)? En als dat zo is, zou je dan moeten afleiden naar t² mocht er t² staan in plaats van die t?

Ik vond dit op internet:

f: X -> Y : x -> y = f(x)

met X = verzameling waaruit x komt

Y = verzameling waaruit y komt

y = element van y dat met x overeenstemt

(als ik het goed begrepen heb)

Op deze vergelijking toegepast:

f: R -> R² : t -> (t³, t²) = f(x)

Als je (t³, t²) gelijkstelt aan f(x), hoe bepaal je dan wat x is en wat y? Gewoon zoals bij coördinaten of zo? En wat verandert er als de t zou veranderen?

Als dit allemaal duidelijk op internet te vinden zou zijn: sorry! Ik heb er wel naar gezocht, maar de dingen die ik vond maken het niet veel duidelijker. (mocht er iemand een duidelijke uitleg weten staan is dat ook zéker welkom)

TD

Het heeft geen zin dat f(x) te noemen, t wordt afgebeeld op (t²,t³), niet x... Er komt dus helemaal geen x of y aan te pas, tenzij je (t²,t³) per se wil noteren als x=t² en y=t³. Je kan inderdaad de vector afleiden naar t, dat is precies zoals je doet: elke component naar t afleiden.

Tudum

Het heeft geen zin dat f(x) te noemen, t wordt afgebeeld op (t²,t³), niet x...

Ah, ja. Is f(t) dan wel correct?

TD

Inderdaad, hier speelt t de rol van de onafhankelijke variabele. De bronverzameling is R, de beeldverzameling R². Die t wordt dus afgebeeld op een vector met twee componenten, f(t) = (f1(t),f2(t)) waarbij ik de componentfuncties even aparte namen heb gegeven, hier is f1(t) = t³ en f2(t) = t², dat zijn gewone functies R->R. Je kan die ook x en y noemen.

Ik las net even je opgave na, het punt (1,1/2) ligt helemaal niet op de kromme...

Tudum

Inderdaad, hier speelt t de rol van de onafhankelijke variabele. De bronverzameling is R, de beeldverzameling R². Die t wordt dus afgebeeld op een vector met twee componenten, f(t) = (f1(t),f2(t)) waarbij ik de componentfuncties even aparte namen heb gegeven, hier is f1(t) = t³ en f2(t) = t², dat zijn gewone functies R->R. Je kan die ook x en y noemen.

Klopt het dan als ik die vergelijking zie als twee functies (de f1(t) = t³ en f2(t) = t² die je zei), daar dan apart de afgeleide van neem, apart de rico van de raaklijn zoek dus, en die twee rico's combineer tot een vector?

Ik las net even je opgave na, het punt (1,1/2) ligt helemaal niet op de kromme...

Ik heb de opgave gekopieerd van de site waarop de test staat, dus het is geen typfout. Maar in dit topic werd er ook al gezegd dat er iets fout was aan de opgave, als ik dat goed begrepen heb, dus misschien is die test niet helemaal in orde.

TD

Klopt het dan als ik die vergelijking zie als twee functies (de f1(t) = t³ en f2(t) = t² die je zei), daar dan apart de afgeleide van neem, apart de rico van de raaklijn zoek dus, en die twee rico's combineer tot een vector?

Je kan inderdaad die "componentfuncties" apart bekijken en ook apart (naar t) afleiden. Maar van een raaklijn en rico is toch niets gevraagd? Ze hebben het enkel over een raakvector, daarvoor zou ik geen omweg langs een raaklijn maken.

Ik heb de opgave gekopieerd van de site waarop de test staat, dus het is geen typfout. Maar in dit topic werd er ook al gezegd dat er iets fout was aan de opgave, als ik dat goed begrepen heb, dus misschien is die test niet helemaal in orde.

Al de punten van de kromme zijn van de vorm (t³,t²) met t een reëel getal. Ze hebben het over de kromme in het punt (1,1/2), maar als de eerste component (t³) gelijk moet zijn aan 1, dan is t=1. Maar dan is t², de tweede component, ook 1. Dus wel (1,1) ligt op de kromme, maar niet (1,1/2).

Phys

Ik heb de opgave gekopieerd van de site waarop de test staat, dus het is geen typfout. Maar in dit topic werd er ook al gezegd dat er iets fout was aan de opgave, als ik dat goed begrepen heb, dus misschien is die test niet helemaal in orde.

Dat lijkt het inderdaad sterk op. Waarschijnlijk (weer) een typfout op de site, of verkeerd onthouden door degene die hem heeft opgesteld.

TD

Als je toch verder wil, kan je de opgave doen met (1,1).

Tudum

Als je toch verder wil, kan je de opgave doen met (1,1).

(t³, t²) afleiden => (3t², 2t)

Dat invullen: (3.1², 2.1) = (3, 2)

=> De raakvector aan de kromme in het punt (1,1) is (3,2)?

Klopt dat?

TD

Klopt!

Tudum

Klopt!

Oké, dank u!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] vergelijking kromme

[wiskunde] vergelijking kromme

Re: [wiskunde] vergelijking kromme

Re: [wiskunde] vergelijking kromme

Re: [wiskunde] vergelijking kromme

Re: [wiskunde] vergelijking kromme

Re: [wiskunde] vergelijking kromme

Re: [wiskunde] vergelijking kromme

Re: [wiskunde] vergelijking kromme

Re: [wiskunde] vergelijking kromme

Re: [wiskunde] vergelijking kromme

Re: [wiskunde] vergelijking kromme

Re: [wiskunde] vergelijking kromme

Re: [wiskunde] vergelijking kromme

Re: [wiskunde] vergelijking kromme

Re: [wiskunde] vergelijking kromme