Springen naar inhoud

Richingsafgeleide en maximale toename van functie in punt


  • Log in om te kunnen reageren

#1

christopheb

    christopheb


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 augustus 2009 - 22:44

Hoi,

Ik heb het gevoel dat ik een aantal begrippen door elkaar aan het halen ben, waardoor volgende opgave nog steeds niet lukt:

Bepaal de richting waarin de toename van de functie f maximaal is in het punt p en bepaal de richtingsafgeleide in deze richting.

LaTeX in het punt LaTeX

Als ik het goed heb, bepaalt de gradiŽnt de richting waarin f maximaal toeneemt (maar niet in een punt, dit lijkt me vreemd?). De gradiŽnt is in dit geval (2x+y, x+2y). Dus indien we dit in punt p willen, vullen we p in de gradiŽnt in en krijgen we (-1,1) als uitkomst. Dus in het punt p neemt f maximaal toe in de richting (-1,1) ?

Verder vind ik het vreemd dat (-1,1) een richting kan zijn. Vanaf deze stap loop ik onnoemelijk hard vast in de redenering. In het boek staat dat als je een richtingsafgeleide in richting a van f in punt p wil berekenen, dat je dan een product moet doen van de gradiŽnt van f in p en richting a. Maar aangezien de richting hier de gradiŽnt in p zelf is, dan zouden we het product van zichzelf gaan maken?

Op wikipedia lijkt men deze te berekenen aan de hand van een eenheidsvector. Als ik zelf de eenheidsvector probeer op te stellen krijg ik LaTeX , dus daar lijk ik ook ergens in de mist te gaan.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 augustus 2009 - 22:59

Ik verplaats dit even naar calculus.

Als ik het goed heb, bepaalt de gradiŽnt de richting waarin f maximaal toeneemt (maar niet in een punt, dit lijkt me vreemd?). De gradiŽnt is in dit geval (2x+y, x+2y). Dus indien we dit in punt p willen, vullen we p in de gradiŽnt in en krijgen we (-1,1) als uitkomst. Dus in het punt p neemt f maximaal toe in de richting (-1,1) ?

Klopt.

Verder vind ik het vreemd dat (-1,1) een richting kan zijn.

Je werkt met een functie van twee veranderlijken, wat is volgens jou dan wel een richting? Je kan de vector vanuit (0,0) naar (-1,1) tekenen, dat is de richting die je in het xy-vlak moet volgen zodat de functie (het beeld z) het felst stijgt.

Vanaf deze stap loop ik onnoemelijk hard vast in de redenering. In het boek staat dat als je een richtingsafgeleide in richting a van f in punt p wil berekenen, dat je dan een product moet doen van de gradiŽnt van f in p en richting a. Maar aangezien de richting hier de gradiŽnt in p zelf is, dan zouden we het product van zichzelf gaan maken?

Op wikipedia lijkt men deze te berekenen aan de hand van een eenheidsvector. Als ik zelf de eenheidsvector probeer op te stellen krijg ik LaTeX

, dus daar lijk ik ook ergens in de mist te gaan.

Het hangt er een beetje van af hoe het bij jou gedefinieerd is (kijk eens in je cursus), maar gewoonlijk definieert men de richtingsafgeleide inderdaad met een eenheidsvector (als richting). Heb je de oplossing van de opgave? Dan kan je daarmee controleren wat de bedoeling was.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

christopheb

    christopheb


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 augustus 2009 - 23:21

Het hangt er een beetje van af hoe het bij jou gedefinieerd is (kijk eens in je cursus), maar gewoonlijk definieert men de richtingsafgeleide inderdaad met een eenheidsvector (als richting). Heb je de oplossing van de opgave? Dan kan je daarmee controleren wat de bedoeling was.


Helaas heb ik geen oplossing van de oefening, wat ook een reden is dat ik de vraag hier stel omdat ik absoluut niet zeker ben van de oplossingsmethode.

Het deel over de richting is inderdaad duidelijk. Ik heb de eenheidsvector als (1,1) geÔnterpreteerd, wat dus een norm van LaTeX heeft. Vandaar mijn vorige oplossing. Op welke manier kan de eenheidsvector nog geÔnterpreteerd worden zodanig dat deze overeen komt met die van wikipedia?

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 augustus 2009 - 23:36

Nu ben je me even kwijt. Je hebt de richting moeten bepalen waarin f het snelst stijgt voor p = (-1,1). Dat was de richting (-1,1), toevallig hetzelfde! Dan vragen ze de richtingsafgeleide te bepalen volgens die richting. Daarvoor moet je het inproduct bepalen van de gradiŽnt van f in p met die richting, maar deze laatste richting genormaliseerd zodat je een eenheidsrichting hebt. Het kan ook zonder die normalisatie...

Edit: ah, je weet gewoon niet wat een eenheidsvector is? Neem de richtingsvector en deel deze door z'n norm, je houdt dan een vector over met dezelfde richting, maar norm met 1 (eenheidslengte).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

christopheb

    christopheb


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 augustus 2009 - 10:30

Ok, dus de richting wordt de gradiŽnt in punt p, gedeeld door zijn norm. Dan krijg je LaTeX . Dan dienen we de gradiŽnt in p te vermenigvuldigen met de richtingsvector die we net berekenden. LaTeX

Is dit uiteindelijk de correcte berekening van de richtingsafgeleide in punt p volgens de richting waarin de functie f het sterkst stijgt?

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 augustus 2009 - 10:41

Door die norm krijg je een wortel(2) in de noemer, niet gewoon 2.

Wat je uiteindelijk zal bekomen is gewoon de norm van de gradiŽnt, kan je beredeneren waarom?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

christopheb

    christopheb


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 augustus 2009 - 21:14

Inderdaad, het werd vermenigvuldigd met vierkantswortel 2 ipv 2. Echter is de oplossing dan LaTeX . De norm van de gradiŽnt is LaTeX dacht ik.

Door voorgaande, en door het feit dat we de gradiŽnt in een punt vermenigvuldigen met een eenheidsvector zie ik niet meteen in dat we gewoon de norm gaan bekomen?

#8

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 augustus 2009 - 21:21

Echter is de oplossing dan LaTeX

. De norm van de gradiŽnt is LaTeX dacht ik.

LaTeX ;)
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 augustus 2009 - 21:28

Door voorgaande, en door het feit dat we de gradiŽnt in een punt vermenigvuldigen met een eenheidsvector zie ik niet meteen in dat we gewoon de norm gaan bekomen?

De richtingsafgeleide heb je hier berekend met een scalair product. Maar voor het scalair product geldt ook: v.w = |v|*|w|*cos(alfa), met alfa de hoek tussen de vectoren.

Als v bijvoorbeeld de gradiŽnt is en w de (eenheids)richtingsvector, dan is |w| alvast 1 en de cosinus is maximaal 1 (namelijk precies wanneer v en w in dezelfde richting liggen, richting volgens de gradiŽnt). Wat blijft er dan nog over van het hele scalair product?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

christopheb

    christopheb


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 augustus 2009 - 22:18

Bericht bekijken

Wat blijft er dan nog over van het hele scalair product?


De norm van de gradiŽnt in p ;)

Bedankt voor het ophelderen van deze oefening, en voor het aanbrengen van nieuwe inzichten!

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 augustus 2009 - 22:33

Inderdaad! Dus nu heb je een handige "stelling". De maximale waarde van de richtingsafgeleide gebeurt in de richting van de gradiŽnt (dat wist je al) en is in grootte precies de norm van die gradiŽnt ;)

Graag gedaan, succes ermee!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures