Vergelijking

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Vergelijking

Los op in
\(\rr\)
:
\(\sqrt[5]{x^3 + 2x} = \sqrt[3]{x^5 - 2x}\)
.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.112

Re: Vergelijking

Links en rechts tot de macht 3x5 brengen.

Berichten: 4.246

Re: Vergelijking

Links en rechts tot de macht 3x5 brengen.
En dan?
Quitters never win and winners never quit.

Re: Vergelijking

adsense.gif
adsense.gif (223.08 KiB) 530 keer bekeken
Gewoon, de 25-ste graads veelterm oplossen, denk ik.

Berichten: 4.246

Re: Vergelijking

Wat is een beter alternatief dan?
Quitters never win and winners never quit.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Vergelijking

x=0 is in ieder geval een oplossing ;)
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -

Re: Vergelijking

Er zijn meer wegen naar Rome.

Bijvoorbeeld.

Zeg
\(y = \sqrt[5]{x^3 + 2x} = \sqrt[3]{x^5 - 2x}\)
.

Dan is
\(y^5 = x^3 + 2x\)
en
\(y^3 = x^5 - 2x\)
,

ofwel
\(y^5 - x^3 = 2x\)
en
\(x^5 - y^3 = 2x\)
,

Van elkaar aftrekken geeft:
\(y^5 + y^3 = x^5 + x^3\)
.

Nu is
\(f: x \mapsto x^5 + x^3\)
strikt stijgend (want
\(f'(x) = x^2(5x^2 + 3)\)
),

dus als
\(y^5 + y^3 = x^5 + x^3\)
, dan is
\(y=x\)
.

Dus is
\(\sqrt[5]{x^3 + 2x} = x\)
.

Deze vergelijking is simpel op te lossen en geeft de oplossingen enz.

Re: Vergelijking

Na
\(y^5 + y^3 = x^5 + x^3\)
kun je ook als volgt redeneren:

Als
\(u\)
een nulpunt is, dan is
\(-u\)
ook een nulpunt.

Het is dus voldoende de niet negatieve nulpunten te vinden. Stel dus
\(x\ge 0\)
. Dan is ook
\(y\ge 0\)
.
\((y^5 - x^5) + (y^3 - x^3) = 0\)
.

Ontbinden geeft:
\((y-x)((y^4+xy^3+x^2y^2+x^3y+x^3)+(x^2+xy+y^2))=0\)
, dus
\(x=y\)
.

Berichten: 8.614

Re: Vergelijking

Mooie vraag en mooie oplossing. Ik was zelf niet verder gekomen dan x=0.
PeterPan schreef:Dus is
\(\sqrt[5]{x^3 + 2x} = x\)
.

Deze vergelijking is simpel op te lossen en geeft de oplossingen enz.
Om het helemaal af te maken, werk ik dit vergelijkinkje even verder uit. Beide leden tot de vijfde macht verheffen:
\(x^3+2x = x^5 \Leftrightarrow x(x^4-x^2-2) = 0\)
De factor x voorop geeft de oplossing x=0. Voor de bikwadratische vergelijking, stel
\(y = x^2\)
:
\(y^2 - y - 2 = 0 \Leftrightarrow y=-1 \vee y=2 \Leftrightarrow x^2 = 2 \Leftrightarrow x=\pm\sqrt{2}\)
\(V = \{-\sqrt{2},\ 0,\ \sqrt{2}\}\)
Geloof niet alles wat je leest.


Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!

Re: Vergelijking

Als
\(0<x<\sqrt[4]{2}\)
, dan is het rechter lid negatief en het linker positief.

Stel dus
\(x\ge\sqrt[4]{2}\)
.

Zeg
\(f(x) = \sqrt[5]{x^3 + 2x} - \sqrt[3]{x^5 - 2x}\)
.

Dan is
\(f'(x) = \frac{3x^2+2}{5\sqrt[5]{(x^3+2x)^4}} - \frac{5x^4-2}{3\sqrt[3]{(x^5-2x)^2}} < \frac{3x^2+2x^2}{5\sqrt[5]{(x^2)^4}}-\frac{5x^4-x^4}{3\sqrt[3]{(x^5)^2}} < 1-\frac43 < 0\)
.

Dus er is hoogstens 1 positief nulpunt, en met een beetje proberen vind je het nulpunt
\(\sqrt{2}\)
.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Vergelijking

Het blijkt dat -√2 eveneens aan de verg voldoet.

Re: Vergelijking

Zie regel 2 en 3 van post 8.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Vergelijking

Het blijkt dat -√2 eveneens aan de verg voldoet.
Dat is toch al opgemerkt?
Als
\(u\)
.


\\edit: PeterPan was me voor.
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -

Reageer