[wiskunde] oppervlakteberekening - bepaalde integraal

Brecht.A

Beste forumleden,

Ik probeer mezelf wat te verbeteren op vlak van integralen, en meer bepaald, bepaalde integralen.

Weet hier iemand een goed boek voor, die mss tot zelfstudie kan leiden? Qua niveau mag het basis zijn,

dat zal al werk genoeg zijn

Ik heb hier wat oefeningen om een oppervlakte te berekenen van een kromme, is er iemand die me hierbij wat op weg kan helpen?

1. Een oppervlakte bepalen die ingesloten is door de kromme a²x² - y²=x^4

waarbij a en -a de grens is van de kromme op de x-as. A > 0

Moet ik dan de functie omvormen naar

\( y= \sqrt{- \frac{x^4}{a^2 . x^2}} \)

en die functie dan integreren met als grenzen a en -a ?

2. De oppervlakte bepalen van één boog van een cycloide met als parametervergelijking:

\( \left\{ \begin{array}{rcl} x=R( \alpha - \sin(\alpha) \\ y=R(1-\cos(\alpha) \end{array} \right. \)

Waarbij 0 tot

\( 2\pi R \)

één boog van de cycloide voorstelt.

Een parametervergelijking kan ik totaal niet oplossen :/ Kan iemand me vertellen hoe ik dit moet aanpakken, zodat

ik hem dan zelfstandig kan proberen op te lossen?

Alvast bedankt !

Alvast bedankt !

Klintersaas

Voor vraag 1: hoe kom je tot die uitdrukking? Breng

\(x^4\)

Ik probeer mezelf wat te verbeteren op vlak van integralen, en meer bepaald, bepaalde integralen.

Weet hier iemand een goed boek voor, die mss tot zelfstudie kan leiden? Qua niveau mag het basis zijn,

dat zal al werk genoeg zijn

Misschien kun je enkele integralen uit Integreren voor beginners proberen.

Brecht.A

Vraag 1

\( a^2 x^2 - y^2 = x^4\)

Uitwerken naar y wordt:

\( y = x \sqrt{a^2 - x^2} \)

De oppervlakte bepaal je door de absolute waarde van de functie y van -a tot a te integreren.

y heeft als symmetrie as de y-as, maw

\( S = 2 \int x \sqrt{a^2 - x^2}.dx \)

met als grenzen a en 0.

(Hoe zet ik met tex de integratiegrenzen? )

Dan is

\( S = 2 . \left[ \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} - \frac{a^2}{2} \ln \left( x + \sqrt{a^2 - x^2} \right) \right] \begin{array}{rcl} a \\ \\ 0 \end{array}\)

Vraag 2

Nadat ik x heb afgeleid, wat moet ik dan doen

Alvast bedankt voor je hulp Klintersaas !

Klintersaas

Brecht.Avereyn schreef:Vraag 1

\( a^2 x^2 - y^2 = x^4\)
(Hoe zet ik met tex de integratiegrenzen? )

\(\int_a^b\)
Dan is
\( S = 2 . \left[ \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} - \frac{a^2}{2} \ln \left( x + \sqrt{a^2 - x^2} \right) \right] \begin{array}{rcl} a \\ \\ 0 \end{array}\)
Vraag 2

Nadat ik x heb afgeleid, wat moet ik dan doen
Je hebt dus het volgende:

\(\left\{ \begin{array}{rcl} x=R( \alpha - \sin(\alpha)) \\ y=R(1-\cos(\alpha)) \end{array} \right \)
Alvast bedankt voor je hulp Klintersaas !
Graag gedaan!

PS: De forumsoftware brengte verschillende spaties na elkaar automatisch terug tot één spatie. Als je wilt inspringen of centreren, gebruik dan de - of -knop, rechtsboven in je conceptberichtvenster.

Klintersaas

Dan is
\( S = 2 . \left[ \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} - \frac{a^2}{2} \ln \left( x + \sqrt{a^2 - x^2} \right) \right] \begin{array}{rcl} a \\ \\ 0 \end{array}\)

Dit is niet correct. Hoe ben je aan de integratie begonnen?

Brecht.A

Dit is niet correct. Hoe ben je aan de integratie begonnen?

Wel, ik heb een formuleblad met basisintegralen en hun uitwerking.

Een daarvan is :

\(\int \sqrt{ x^2 \pm a^2 } \delta x= \left[ \frac{x}{2}\sqrt{x^2 \pm a^2} \pm \frac{a^2}{2} \ln \left( x + \sqrt{x^2 \pm a^2} \right) \right] + k\)

Deze lag voor mij toch het meest voor de hand om te gebruiken. Ik heb nu wel opgemerkt dat ik de x voor de

\( \sqrt{ x^2 \pm a^2 } \)

vergeten te integreren heb.

Is dit de oorzaak van mn fout, of heb ik een combinatie van fouten?

En even over vraag 2:

\(\int_0^{2\pi R} (R(1-\cos(\alpha))\mbox{d}(R(\alpha-\sin(\alpha)))\)

Ik werk de haakjes uit.

\(\int_0^{2\pi R} (R(1-\cos(\alpha))\mbox{d}(R\alpha-R\sin(\alpha)))\)

Ik leid de uitgewerkte x-functie af en werk de haakjes uit van de y-functie

\(\int_0^{2\pi R} (R-R\cos(\alpha))(R-R\cos(\alpha))\)

Dubbel product uitwerken:

\(\int_0^{2\pi R} R^2 - 2R^2\cos(\alpha)+R^2\cos^2(\alpha)\)

Voordat ik integreer moet ik dan de

\( \cos^2(\alpha) \)

omzetten naar

\( \frac{1}{2}\sin(2\alpha) \)

Dan :

\(\int_0^{2\pi R} R^2 - 2R^2\cos(\alpha)+\frac{1}{2}R^2\sin(2\alpha) \)

Ik heb dan elke term van de som apart geintegreerd en dat heeft me volgens mij :

\( S = R^2 + 2R^2\left[\sin(\alpha)\right]\begin{array}{rcl} 2\pi R \\ \\ 0 \end{array} + \frac{1}{2}R^2 \left[ \frac{-\cos(2\alpha)}{2} \right] \begin{array}{rcl} 2\pi R \\ \\ 0 \end{array} \)

Alvast bedankt voor jullie hulp! t Wordt geapprecieerd

Klintersaas

Deze lag voor mij toch het meest voor de hand om te gebruiken. Ik heb nu wel opgemerkt dat ik de x voor de
\( \sqrt{ x^2 \pm a^2 } \)

Hier ben ik niet zo zeker van. Volgens mij dien je af te leiden naar alfa en niet naar R. Vergeet bovendien de d... achteraan niet!

Brecht.A

Dat is inderdaad het probleem. Met een kleine substitutie bekom je een erg eenvoudige integraal die ook een erg eenvoudige oplossing geeft.

zit ik met

\( x^2 - a \)

gelijk te stellen aan bv. T in de goede richting? Dat wordt dan

\( \sqrt{T^2} \)

, waardoor mn integraal de volgende wordt

\( \int_0^a T . \mbox{d}T \)

?

Het enige dat ik dan nog moet doen is mn integratiegrenzen aanpassen?

Hier ben ik niet zo zeker van. Volgens mij dien je af te leiden naar alfa en niet naar R. Vergeet bovendien de d... achteraan niet!

Dus ik moet mij formule uitwerken zodat enkel nog de elementen die in functie staan van alpha achter de integraal staan?( maw, R voorop zetten? )

Klintersaas

zit ik met
\( x^2 - a \)
Dus ik moet mij formule uitwerken zodat enkel nog de elementen die in functie staan van alpha achter de integraal staan?( maw, R voorop zetten? )
Inderdaad (maar ergens twijfel ik een beetje, dus mogelijk kan iemand anders uitsluitsel geven).

Brecht.A

Bijna. Probeer de substitutie
\(x^2-a^2 = t^2\)
Inderdaad (maar ergens twijfel ik een beetje, dus mogelijk kan iemand anders uitsluitsel geven).
Mocht het je helpen, bijgevoegde figuur stelt de cycloide voor.

Klintersaas

Maakt dit het niet moeilijker? Anders ben ik verkeerd bezig als
\(x^2-a^2 = t^2\)
Mocht het je helpen, bijgevoegde figuur stelt de cycloide voor.
Bedankt, maar ik weet hoe een cycloïde eruit ziet. Je hoort inderdaad af te leiden (en achteraf te integreren) naar alfa.

Phys

Brecht.Avereyn schreef:
\( \int_0^{2\pi R} (R(1-\cos(\alpha))\mbox{d}(R\alpha-R\sin(\alpha))) \)
Je hoort inderdaad af te leiden (en achteraf te integreren) naar alfa.
Hij leidt toch ook af naar alfa (a)? Ra --> R en -Rsin(a) --> -Rcos(a)

Klintersaas

Hij leidt toch ook af naar alfa (a)? Ra --> R en -Rsin(a) --> -Rcos(a)

Ik begin stilaan stekeblind te worden. Je hebt uiteraard gelijk. Brecht, mijn excuses voor de verwarring, ik keek niet goed uit mijn doppen. Terug naar je integraal dus:

Brecht.Avereyn schreef:Dubbel product uitwerken:

\(\int_0^{2\pi R} R^2 - 2R^2\cos(\alpha)+R^2\cos^2(\alpha)\)
omzetten naar
\( \frac{1}{2}\sin(2\alpha) \)

Dat klopt niet. Je bedoelt waarschijnlijk

\(\cos^2(\alpha) = \frac12(\cos{2\alpha}+1)\)

De rest van je uitwerking is dus ook niet correct.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] oppervlakteberekening - bepaalde integraal

[wiskunde] oppervlakteberekening - bepaalde integraal

Re: [wiskunde] oppervlakteberekening - bepaalde integraal

Re: [wiskunde] oppervlakteberekening - bepaalde integraal

Re: [wiskunde] oppervlakteberekening - bepaalde integraal

Re: [wiskunde] oppervlakteberekening - bepaalde integraal

Re: [wiskunde] oppervlakteberekening - bepaalde integraal

Re: [wiskunde] oppervlakteberekening - bepaalde integraal

Re: [wiskunde] oppervlakteberekening - bepaalde integraal

Re: [wiskunde] oppervlakteberekening - bepaalde integraal

Re: [wiskunde] oppervlakteberekening - bepaalde integraal

Re: [wiskunde] oppervlakteberekening - bepaalde integraal

Re: [wiskunde] oppervlakteberekening - bepaalde integraal

Re: [wiskunde] oppervlakteberekening - bepaalde integraal