Springen naar inhoud

Intuitief aanvoelen van convergentie van een reeks


  • Log in om te kunnen reageren

#1

christopheb

    christopheb


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 augustus 2009 - 14:41

Hoi,

Het begrip dat een reeks convergeert als de rij van partieelsommen naar een eindige limiet s probeer ik op een intuitieve wijze aan te voelen. Wanneer ik echter dit grafisch probeer voor te stellen loop ik tegen een aantal merkwaardigheden aan op het vlak van convergentie. Als voorbeeld neem ik LaTeX en LaTeX .

Geplaatste afbeelding

Aangezien bij beide reeksen de partieelsommen steeds stijgen, snap ik niet de eerste reeks divergeert, en de tweede convergeert. Volgens de definitie moet gelden dat indien de reeks convergeert dat de limiet van n gaande naar oneindig van de termen an, gelijk moet zijn aan 0. Dit is bij beide reeksen het geval. De partieelsom (som van alle termen) convergeert volgens mij in beide gevallen niet. Op welk vlak verschilt reeks 1 dan van reeks 2?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 augustus 2009 - 14:50

Dat de partieelsommen toenemen is nogal logisch voor positieve reeksen, je telt er steeds iets positiefs bij op!
Dat de algemene term naar 0 moet gaan is (ook hier duidelijk) een nodige, maar geen voldoende voorwaarde.
Het klopt niet dat de partieelsommen in beide gevallen niet convergeren, in het tweede geval convergeren ze wel.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

christopheb

    christopheb


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 augustus 2009 - 15:19

Ok, dat lijkt mij inderdaad ook de plaats waar de denkfout zit.

In het geval van LaTeX is s4 = 1+1/10+1/100+1/1000 = 1.111

In het geval van LaTeX is s4 = 1+1/100+1/10000+1/100000000 = 1.01010001.

Hmm, bij het tweede geval zie ik nu iets wat ik anders had verwacht. Mijn verwachting was namelijk 1.010101.

Is het zo dat in geval 1 waar er achteraan de uitkomst steeds 1 bijkomt een continu stijgend getal is, en dat in geval 2 de waarde die toegevoegd wordt steeds kleiner wordt, waardoor geval 1 oneindig groter blijft worden en getal 2 stilaan afzwakt (en dus continu is)?

#4

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 augustus 2009 - 15:27

Misschien mis ik iets, maar waarom kijk je alleen naar k die veelvouden van 10 zijn? Normaal duidt de n in de partiŽle som s_n op de bovengrens van de (eindige) som. Dus s4=1+1/2+1/3+1/4+...

Is het zo dat in geval 1 waar er achteraan de uitkomst steeds 1 bijkomt een continu stijgend getal is, en dat in geval 2 de waarde die toegevoegd wordt steeds kleiner wordt, waardoor geval 1 oneindig groter blijft worden en getal 2 stilaan afzwakt

Dit klopt niet. Beide partiŽle sommen nemen toe, want er wordt telkens iets postiefs opgeteld. Maar ook wordt de volgende term bij beide partiŽle sommen steeds kleiner (als k1>k2 dan niet alleen 1/k1<1/k2, maar ook 1/k12<1/k22.) In het tweede geval wordt de term sneller kleiner vanwege het kwadraat, maar het feit dat opeenvolgende termen kleiner zijn is dus niet genoeg.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#5

christopheb

    christopheb


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 augustus 2009 - 15:32

Misschien mis ik iets, maar waarom kijk je alleen naar k die veelvouden van 10 zijn? Normaal duidt de n in de partiŽle som s_n op de bovengrens van de (eindige) som. Dus s4=1+1/2+1/3+1/4+...


Ok, dat begrijp ik.

Dus voor LaTeX geldt s4 = 1+1/2+1/3+1/4.

Voor LaTeX geldt dan s4 = 1+1/4+1/9+1/16.

Waarom convergeert de tweede dan wel, en de eerste niet?

Veranderd door christopheb, 10 augustus 2009 - 15:33


#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 augustus 2009 - 15:45

Ok, dat begrijp ik.

Dus voor LaTeX

geldt s4 = 1+1/2+1/3+1/4.

Voor LaTeX geldt dan s4 = 1+1/4+1/9+1/16.

Waarom convergeert de tweede dan wel, en de eerste niet?

Omdat de termen van de tweede "snel genoeg" naar 0 gaan, die van de eerste niet.

Wat is "snel genoeg"? Voor de tweede kan je een bovengrens M vinden (oneindig veel zelfs...) waar de partieelsommen nooit boven zullen gaan, hoeveel termen je ook neemt; voor de eerste kan dat niet (neem een M, dan is er wel een N zodat als je meer dan N termen neemt, de partieelsom boven M komt).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 augustus 2009 - 15:47

Het is lastig om een antwoord te geven opdat je het intuÔtief aanvoelt, intuÔtie werkt niet bij iedereen hetzelfde. Misschien helpt het om een bewijs te zien? hier staan drie bewijzen van divergentie van de eerste reeks. Voor convergentie van de andere, kun je laten zien dat de rij van partiŽle sommen naar boven begrensd is.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#8

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 10 augustus 2009 - 16:12

Of zo:
Stel LaTeX bestaat.
Dan is
LaTeX
of
LaTeX
Dus LaTeX .

#9

christopheb

    christopheb


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 augustus 2009 - 20:43

Of zo:
Stel LaTeX

bestaat.
Dan is
LaTeX
of
LaTeX
Dus LaTeX .


Is het mogelijk om deze uitleg iets meer te verklaren? Met name de tweede regel en de derde regel begrijp ik niet goed. Klopt het dat H een partieelsom is?

In dat geval, hoe kan de ene partieelsom H aan de linkerkant op regel twee gelijk zijn groter zijn dan een andere partieelsom die ook H noemt?

#10

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 augustus 2009 - 20:51

Nee, H is geen partieelsom, H is de reeks die je wilt berekenen. Zie regel 1. Stel dat de reeks convergeert, noem de waarde H.

Tweede regel: iedere term heeft afwisselend een even en een oneven getal in de noemer. Dus de reeks is te splitsen in een 'even deel' LaTeX en 'oneven deel' LaTeX . Aangezien LaTeX impliceert dit H>H. Tegenspraak, dus de aanname dat de reeks convergeert was niet juist.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#11

christopheb

    christopheb


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 augustus 2009 - 21:03

Nee, H is geen partieelsom, H is de reeks die je wilt berekenen. Zie regel 1. Stel dat de reeks convergeert, noem de waarde H.

Tweede regel: iedere term heeft afwisselend een even en een oneven getal in de noemer. Dus de reeks is te splitsen in een 'even deel' LaTeX

en 'oneven deel' LaTeX . Aangezien LaTeX impliceert dit H>H. Tegenspraak, dus de aanname dat de reeks convergeert was niet juist.


Mijn excuses, maar ik begrijp echt niet waar je naartoe wil met deze vergelijking. Hoe kan H aan de ene kant bestaan uit even en oneven delen en aan de rechterkant niet? Ik probeer het echt te begrijpen maar het lukt niet.

#12

christopheb

    christopheb


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 augustus 2009 - 21:19

Ok, aan de hand van de wikipedia pagina in een van de vorige posts in dit topic ben ik er toch in geslaagd om het te begrijpen.

H = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5. Aangezien (1/3 + 1/4) groter dan 1/2 is, en we telkens een heel aantal even getallen (in dit geval 1/3 en 1/4 bekijken als 1/4 + 1/4) met als uitkomst 1/2 hebben, is dus H groter dan de opsomming van al deze "even" getallen . De som van 1 + aantal keer (1/2) is logischerwijze divergent. Aangezien H groter is dan deze laatste som, is H dus ook divergent. Bedankt voor het inzicht! ;)

#13

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 augustus 2009 - 21:59

Yep, dat was mijn link. Maar dat is niet precies wat ik (en PeterPan) hierboven bedoelde.
Stel LaTeX
Door de even noemers en de oneven noemers te groeperen, kunnen we dit schrijven als
LaTeX
oftewel
LaTeX

Maar goed, als je maar inziet dat de reeks divergeert, dan is het goed ;)
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures