Springen naar inhoud

Ordinale getallen voorbij de welordening van r?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 14 augustus 2009 - 22:11

Een vraag waar ik nog mee zit is het volgende:

Je kan de verzameling der reŽle getallen welordenen. Er zou dus een ordinaal getal mee moeten corresponderen. Of niet?

Met andere woorden:

Loopt de rij ordinaal getallen voort voorbij het ordinaal getal dat het ordetype van een welordening van de verzameling der reŽle getallen aangeeft?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 15 augustus 2009 - 07:58

De verzameling LaTeX is niet welgeordend.
Voor een welgeordende verzameling geldt dat elke deelverzameling een kleinste element heeft.


De verzameling der ordinaalgetallen is overaftelbaar (gelijkmachtig met LaTeX ).
Elk beginstuk uit die verzameling (dwz elke deelverzameling daarvan met een bovengrens) is echter aftelbaar.

#3

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 15 augustus 2009 - 09:16

De verzameling LaTeX

is niet welgeordend.
Voor een welgeordende verzameling geldt dat elke deelverzameling een kleinste element heeft.


Daarom schreef ik ook dat LaTeX welgeordend kan worden. Dat vereist dus een andere ordening dat die de reŽle getallen als reŽle getallen al toekomt.

#4

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 15 augustus 2009 - 09:31

Je kan de verzameling der reŽle getallen welordenen. Er zou dus een ordinaal getal mee moeten corresponderen. Of niet?

Zoals ik al zei zou LaTeX dan aftelbaar moeten zijn.

#5

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 15 augustus 2009 - 09:39

Zoals ik al zei zou LaTeX

dan aftelbaar moeten zijn.


Het staat je natuurlijk vrij er een alternatieve verzamelingenleer op na te houden. Maar zeg ons dan a.u.b. welke dat is, zodat we weten hoe we je uitspraken moeten interpreteren.

#6

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 15 augustus 2009 - 10:03

Bij mij moet je niet zijn voor een alternatieve verzamelingsleer.
Bestudeer dit maar eens goed.

#7

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 15 augustus 2009 - 10:43

Misschien is wat extra uitleg nodig.
We beginnen met de ordinaalgetallen zoals hier besproken:
LaTeX

Deze rij heeft de eigenschap dat elke niet-lege deelverzameling een kleinste element bevat en dat de rij totaal geordend is.
We spreken dan van een welgeordende verzameling.

Iemand anders zegt dat hij ook een welgeordende verzameling heeft (dwz elke niet-lege deelverzameling ervan heeft een kleinste element).

Dan geldt het volgende: Zijn verzameling is een beginstuk van mijn verzameling. (netter gezegd, ze zijn isomorf (zie definitie LaTeX )).

Dus als je 2 welgeordende verzamelingen hebt (dit kunnen wilde, exotische verzamelingen zijn) dan is de een altijd orde-isomorf met een beginstuk van de andere verzameling.

Een welgeordende verzameling is aftelbaar, of overaftelbaar. Is hij overaftelbaar, dan is hij orde-isomorf met de (transfinite)-ordinaalgetallen van hierboven.

#8

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 15 augustus 2009 - 16:03

Ik probeer het toch echt te begrijpen. En je verhaal over de ordinaalgetallen heb ik inderdaad bestudeerd. Het was verhelderend, op ťťn punt na. Ik heb dat punt ook daar al aan de orde gesteld. Maar omdat dat toen in verwarring eindigde, heb ik mijn vraag hier nog maar eens gesteld.

We hebben al eerder onenigheid over de status van het keuze-axioma gehad. Vandaar mijn opmerking over een alternatieve verzamelingenleer. Zoals je uit eerdere discussies inmiddels zal begrijpen, bedoel ik daar niets onvriendelijks mee. Het keuze-axioma is equivalent met de volgende stelling:

http://en.wikipedia....rdering_theorem

Het zou dus goed kunnen zijn dat je ook bedenkingen hebt bij het bestaan van een welordening voor LaTeX . Maar laat ik niet te veel veronderstellen.

Ben je het er mee eens dat er een welordening van LaTeX bestaat (uiteraard voor een daarop toegesneden orderelatie)?

#9

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 augustus 2009 - 16:52

Volgens mij moeten jullie duidelijker zijn in welke axioma's je precies aanneemt (oftewel, welke verzamelingenleer jullie gebruiken).

Met de axioma's van ZFC inclusief het keuze-axioma is aan te tonen dat LaTeX een welordening heeft.
[Dat betekent niet dat die welordening expliciet te geven is (met een formule). Sterker nog, het is consistent met ZFS+keuze-axioma+veralgemeende continuŁmhypothese dat zo'n formule niet te geven is. Een review van het artikel waarin dat wordt aangetoond is hier te vinden.]
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#10

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 15 augustus 2009 - 17:12

Volgens mij moeten jullie duidelijker zijn in welke axioma's je precies aanneemt (oftewel, welke verzamelingenleer jullie gebruiken).


Ik ga uit van ZFC. Wel denk ik dat er aan ZFC nog iets wezenlijks ontbreekt, omdat de Continuumhypothese er niet door beslist wordt.

#11

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 15 augustus 2009 - 17:45

Ik zie het misverstand.

Mijn uitgangspunt, de rij LaTeX
betreft de ordinaalgetallen.

Met welgeordende verzamelingen in mijn voorgaande verhaal en de vergelijking met de deelverzamelingen van de ordinaalgetallen betreffen slechts de construeerbare welgeordende verzamelingen (dus zonder keuze-axioma).

In je post gooi je ordinaalgetallen en welgeordende verzamelingen op een hoop, en ik was er zelf ook niet op bedacht dat daar misverstand over zou kunnen ontstaan.

Mijn opmerking dat LaTeX niet wel te ordenen is niet correct. In de verwarring getrapt die ikzelf heb opgeroepen.

Zie ook hier

Veranderd door PeterPan, 15 augustus 2009 - 17:52


#12

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 15 augustus 2009 - 18:53

Hier staat ook veel over ordinaal getallen:

http://en.wikipedia..../Ordinal_number

Ordinaal getallen duiden de "ordening" van welgeordende verzamelingen aan, zoals kardinaal getallen het "aantal elementen" van verzamelingen aanduiden. Ordinaal getallen en welgeordende verzamelingen zijn dus verwante zaken. Met iedere welgeordende verzameling moet een ordinaal getal corresponderen. Vandaar mijn verwarring ten aanzien van LaTeX .

Wel verbaast het me dat we in de wiskunde niet mťťr over het met LaTeX corresponderende (kleinste) ordinaal getal horen. Heeft het een teken? Wat is er van bekend?

#13

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 15 augustus 2009 - 21:32

Hier staat ook veel over ordinaal getallen:

http://en.wikipedia..../Ordinal_number

Ordinaal getallen duiden de "ordening" van welgeordende verzamelingen aan, zoals kardinaal getallen het "aantal elementen" van verzamelingen aanduiden. Ordinaal getallen en welgeordende verzamelingen zijn dus verwante zaken. Met iedere welgeordende verzameling moet een ordinaal getal corresponderen. Vandaar mijn verwarring ten aanzien van LaTeX

.

Dat kun je zo formuleren, maar deze formulering kan verwarrend werken. Zie mijn laatste link. Daarin staat deze eigenschap aangetoond.

Wel verbaast het me dat we in de wiskunde niet mťťr over het met LaTeX

corresponderende (kleinste) ordinaal getal horen. Heeft het een teken? Wat is er van bekend?

LaTeX .
Zie nogmaals mijn laatste link.

#14

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 15 augustus 2009 - 23:01

LaTeX

.
Zie nogmaals mijn laatste link.


Het gaat mij niet om het niveau in het Von Neumann Universum waarop de reŽle getallen mogelijk worden (als deelverzamelingen van LaTeX ), maar om het (kleinste) ordinaal getal dat orde-isomorf is met een welordening van de verzameling der reŽle getallen. Daarvoor lijkt het mij op zijn minst nodig dat dit ordinaal getal (als verzameling beschouwd) gelijkmachtig met LaTeX is.

Maar ik kan het mis hebben.

#15

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 16 augustus 2009 - 08:44

LaTeX dan geldt:
Een welgeordende deelverzameling van LaTeX is aftelbaar, of overaftelbaar. Is hij overaftelbaar, dan is hij orde-isomorf met de (transfinite)-ordinaalgetallen.

Als we het keuzeaxioma accepteren, dan bestaat er dus een koppeling tussen elk element van LaTeX en een ordinaalgetal, zodat LaTeX de verzameling van ordinaalgetallen is.

Veranderd door PeterPan, 16 augustus 2009 - 08:55






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures