tijdsduur
Moderator: Rhiannon
- Berichten: 2.881
Re: tijdsduur
$$t=2 \sqrt{\frac{h \left(M m_{1} \sin^{2}{\left(\alpha \right)} + M m_{1} \cos^{2}{\left(\alpha \right)} + M m_{2} + m_{1}^{2} \sin^{2}{\left(\alpha \right)} + m_{1} m_{2} \sin^{2}{\left(\alpha \right)} + m_{1} m_{2} \cos^{2}{\left(\alpha \right)} + m_{1} m_{2} + m_{2}^{2}\right) \sin{\left(\alpha \right)}}{g \left(m_{1} \sin{\left(\alpha \right)} - m_{2}\right) \left(M + m_{1} + m_{2}\right) \left(\sin^{2}{\left(\alpha \right)} + \cos^{2}{\left(\alpha \right)} + 1\right)}}$$
Gelukkig niet met de hand gedaan maar volledig symbolisch opgelost met Lagrange in Python.
Nu hopen dat er geen rekenfout inzit.
Gelukkig niet met de hand gedaan maar volledig symbolisch opgelost met Lagrange in Python.
Nu hopen dat er geen rekenfout inzit.
- Berichten: 4.853
Re: tijdsduur
Beide expressies geven verschillende resultaten.
Wel hebben we dezelfde noemer.- Berichten: 2.881
Re: tijdsduur
Ik zie nu pas dat SymPy de grondformule niet heeft toegepast. Vermoedelijk had ik nog simplify of zo moeten oproepen, Op zich geen fout, maar ik zal vanavond nog eens kijken naar echte fouten. Onze uitkomsten lijken wel op elkaar.
Heb je bvb ook de positie van m2 in functie van de tijd uitgerekend om te kunnen vergelijken? Of een ander tussenresultaat?
Heb je bvb ook de positie van m2 in functie van de tijd uitgerekend om te kunnen vergelijken? Of een ander tussenresultaat?
- Berichten: 2.881
Re: tijdsduur
Ik heb een heel andere insteek met Lagrange die ook moet kloppen. Kans is echter groot dat er in mijn berekeningen onzorgvuldigheden zitten. Ik moet het herbekijken.
Jouw eerste 6 vergelijkingen lijken mij op het eerste gezicht juist te zijn. Uit de laatste vergelijking concludeer ik dat de twee massa's het dichtst bij elkaar zijn als m2 zich op h/2 bevindt als ik even uit het hoofd reken.
Jouw eerste 6 vergelijkingen lijken mij op het eerste gezicht juist te zijn. Uit de laatste vergelijking concludeer ik dat de twee massa's het dichtst bij elkaar zijn als m2 zich op h/2 bevindt als ik even uit het hoofd reken.
- Berichten: 4.853
Re: tijdsduur
Ja, kortste afstand als m1 en m2 een gelijkbenige driehoek vormen.
Syt=h/2=1/2a2yt2 t2=h/a2y
Syt=h/2=1/2a2yt2 t2=h/a2y
- Berichten: 2.881
Re: tijdsduur
Ik heb nu exact dezelfde oplossing als ukster met Lagrange, dus dan zullen we het allebei wel juist hebben. Ik was gewoon vergeten te delen door 2 in de formule voor de kinetische energie.
Dit is dan de indrukwekkende Lagrangiaan met y(t) de hoogte van \(m_2\)
$$L=- \frac{1.0 M m_{1}^{2} \cos^{2}{\left(\alpha \right)} \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)}}{\left(M + m_{1} + m_{2}\right)^{2}} - g \left(- m_{1} \sin{\left(\alpha \right)} + m_{2}\right) - 0.5 m_{1} \left(\left(\frac{2 m_{1} \cos{\left(\alpha \right)}}{M + m_{1} + m_{2}} - 2 \cos{\left(\alpha \right)}\right) \left(\frac{m_{1} \cos{\left(\alpha \right)} \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)}}{M + m_{1} + m_{2}} - \cos{\left(\alpha \right)} \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)}\right) + 2 \sin^{2}{\left(\alpha \right)} \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)}\right) - 0.5 m_{2} \cdot \left(\frac{2 m_{1}^{2} \cos^{2}{\left(\alpha \right)} \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)}}{\left(M + m_{1} + m_{2}\right)^{2}} + 2 \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)}\right)$$
Dit is dan de indrukwekkende Lagrangiaan met y(t) de hoogte van \(m_2\)
$$L=- \frac{1.0 M m_{1}^{2} \cos^{2}{\left(\alpha \right)} \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)}}{\left(M + m_{1} + m_{2}\right)^{2}} - g \left(- m_{1} \sin{\left(\alpha \right)} + m_{2}\right) - 0.5 m_{1} \left(\left(\frac{2 m_{1} \cos{\left(\alpha \right)}}{M + m_{1} + m_{2}} - 2 \cos{\left(\alpha \right)}\right) \left(\frac{m_{1} \cos{\left(\alpha \right)} \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)}}{M + m_{1} + m_{2}} - \cos{\left(\alpha \right)} \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)}\right) + 2 \sin^{2}{\left(\alpha \right)} \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)}\right) - 0.5 m_{2} \cdot \left(\frac{2 m_{1}^{2} \cos^{2}{\left(\alpha \right)} \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)}}{\left(M + m_{1} + m_{2}\right)^{2}} + 2 \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)}\right)$$
Code: Selecteer alles
from sympy import *
alpha, t, g, m1, m2, M, h = symbols('alpha t g m1 m2 M h')
x, y, ym2, xm1,xm2 = symbols('x y, ym2, xm1, ym1', cls=Function)
x = x(t)
y = y(t)
xm1 = xm1(t)
xm2 = xm2(t)
dydt = diff(y,t)
dxdt=(m1*cos(alpha))*dydt/(m1+m2+M)
T=0.5*(m1*((-dydt*cos(alpha) + dxdt)**2+(dydt*sin(alpha))**2))+0.5*m2*(dxdt**2+dydt**2)+0.5*M*dxdt**2
V=(m2*y+m1*(h-y*sin(alpha)))*g
L=T-V
LE1 = diff(L, y) - diff(diff(L,dydt), t)
sol=dsolve(LE1, y, ics={y.subs(t,0): 0, y.diff(t).subs(t, 0):0})
ym2=simplify(sol.rhs)
xm1 = -ym2*cos(alpha)
ym1 = h-ym2*sin(alpha)
afstand2 = xm1**2+ym1**2+ym2**2
dafstand2dt=afstand2.diff(t)
sol=solve(dafstand2dt,t)
oplossing=simplify(sol[2])
oplossing