Springen naar inhoud

[wiskunde] stelling van green


  • Log in om te kunnen reageren

#1

azerty13

    azerty13


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 augustus 2009 - 09:07

Hallo

wie kan mij op weg helpen met dit type van opgaves: (eventueel het verband met vectorvelden)

Bereken met behulp van de stelling van Green de oppervlakte buiten een klavertje vier (r=sin(2*theta)) en binnen een klavertje drie (r=sin(3*theta)).

Bereken als toepassing van de stelling van Green de oppervlakte tussen een klavertje vier met vgl in poolco÷rdinaten r=2*sin(2*theta) en de cirkel met vgl x^2+y^2=2 (in het eerste kwadrant).

Alvast bedankt

Veranderd door azerty13, 16 augustus 2009 - 09:19


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 16 augustus 2009 - 13:10

Voor LaTeX

We herschrijven in parametervorm:
LaTeX

LaTeX

Het volgende volgt uit Green: LaTeX

en LaTeX

Als je dat dus invult in die formule voor de oppervlakte krijg je:

LaTeX

En die laatste formule kan je dan toepassen op je klavertjes door gewoon f in te vullen.


Opmerking: het rekenwerk heb ik weggelaten, maar dat heb je normaal gezien in je cursus Analyse wel gezien.

Veranderd door Xenion, 16 augustus 2009 - 13:11


#3

azerty13

    azerty13


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 augustus 2009 - 14:05

Bedankt voor je antwoord, ik kan op die manier enkel de oppervlakte van een klavertje berekenen, stel nu dat ik de enkel oppervlakte wil die buiten de cirkel x^2 + y^2 = 2 ligt?

Veranderd door azerty13, 16 augustus 2009 - 14:12


#4

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 16 augustus 2009 - 14:48

Bedankt voor je antwoord, ik kan op die manier enkel de oppervlakte van een klavertje berekenen, stel nu dat ik de enkel oppervlakte wil die buiten de cirkel x^2 + y^2 = 2 ligt?


Omdat het een cirkel is zou ik in eerste plaats gewoon de gekende formule gebruiken: LaTeX

Maar als je het met Green-Riemann wil doen, kan je de parametervergelijking van je cirkel opstellen, dan kan je weer dx en dy berekenen en integreren.

Je kan ook gewoon de cirkel in poolco÷rdinaten zetten en dan kan je ineens de formule van hierboven opnieuw toepassen. Je kan in dit geval rechtstreeks uit de vergelijking afleiden dat het een cirkel met middelpunt de oorsprong en straal LaTeX , dus kan je zeggen dat de vergelijking in poolco÷rdinaten LaTeX is.

En dan krijg je:
LaTeX

Veranderd door Xenion, 16 augustus 2009 - 14:56


#5

azerty13

    azerty13


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 augustus 2009 - 15:30

Akkoord, maar ik kan toch zomaar niet opp klavertje - opp cirkel doen? Ik zoek de oppervlakte van het klavertje (bv. r:=2sin(2t) dat buiten de cirkel (bv. x^2+y^2=2) ligt (enkel in het eerste kwadrant)

Veranderd door azerty13, 16 augustus 2009 - 15:31


#6

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 augustus 2009 - 16:00

Zie ook hier.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#7

azerty13

    azerty13


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 augustus 2009 - 16:02

Zie ook hier.

bedankt, maar dat helpt me weinig verder.

#8

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 augustus 2009 - 16:23

Het is toch dezelfde opgave? TS vraagt zich hetzelfde af als jij hierboven:

Ik kan toch niet zomaar de oppervlakte van de klaver aftrekken van de oppervlakte van de cirkel veronderstel ik..

Het antwoord is nee:

De kromme C = de boord van het gebied, bestaat hier uit twee stukken : een cirkelboogje en een gedeelte van (de rand van) het klavertje vier.

(Opletten met de parametristatie van de cirkelboog : 'eindpunt' van de ene kromme = 'beginpunt' van de andere !)


en

Je moet integreren over de kromme die het gebied begrenst. Je kan de snijpunten van beide krommen vinden...?

Begin eens met de laatste vraag: kun je de snijpunten van beide krommen vinden?
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#9

azerty13

    azerty13


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 augustus 2009 - 17:11

Het is toch dezelfde opgave? TS vraagt zich hetzelfde af als jij hierboven:
Het antwoord is nee:

en
Begin eens met de laatste vraag: kun je de snijpunten van beide krommen vinden?

sqrt(2)=2*sin(2*t) geeft twee oplossingen voor t?

Veranderd door azerty13, 16 augustus 2009 - 17:17


#10

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 augustus 2009 - 17:17

Ik neem aan de je met "nee" bedoelt dat je de snijpunten niet kunt vinden. Het zou handig zijn als je even laat zien wat je geprobeerd hebt en wat je niet begrijpt. Het klavertje wordt beschreven door r(t)=2sin(2t). De cirkel door r(t)=sqrt(2).
We zijn ge´nteresseerd in het eerste kwadrant, wat betekent LaTeX . Zoals je in het plaatje in het andere topic kunt zien, zijn er in dit kwadrant twee snijpunten. We zijn dus op zoek naar twee t-waarden waarvoor geldt

LaTeX

\\edit: je hebt je bericht gewijzigd, dus mijn eerste zin klopt niet meer. Het antwoord is hierboven te lezen ;)
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#11

azerty13

    azerty13


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 augustus 2009 - 17:20

Bedankt, een of andere dubbele integratie doen van t1 tot t2 nu?

t1 zou Pi/8 moeten zijn en t2 Pi/2-Pi/8, klopt dat?

#12

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 augustus 2009 - 17:42

t1 zou Pi/8 moeten zijn en t2 Pi/2-Pi/8, klopt dat?

Yep: t1=pi/8 en t2=3.pi/8!

Bedankt, een of andere dubbele integratie doen van t1 tot t2 nu?

LaTeX is het oppervlak omsloten door de kromme C. De kromme C die het bedoelde oppervlak omsluit bestaat uit twee delen: een stukje cirkelboog C1 en een stukje van de klaver C2. Nu we de snijpunten hebben gevonden, kennen we C. We moeten echter nog een slimme aanpassing maken in het functievoorschrift van een van de krommen (translatie van t) om ervoor te zorgen dat we de integraal kunnen opsplitsen in twee delen.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#13

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 16 augustus 2009 - 17:49

Lol, ik had het verkeerd begrepen, ik dacht dat je de oppervlaktes van die figuren individueel moest hebben.

#14

azerty13

    azerty13


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 augustus 2009 - 17:54

Yep: t1=pi/8 en t2=3.pi/8!

LaTeX

is het oppervlak omsloten door de kromme C. De kromme C die het bedoelde oppervlak omsluit bestaat uit twee delen: een stukje cirkelboog C1 en een stukje van de klaver C2. Nu we de snijpunten hebben gevonden, kennen we C. We moeten echter nog een slimme aanpassing maken in het functievoorschrift van een van de krommen (translatie van t) om ervoor te zorgen dat we de integraal kunnen opsplitsen in twee delen.

bedankt voor je uitleg, maar ik zie niet in hoe ik nu de integraal verder moet opstellen.

Veranderd door azerty13, 16 augustus 2009 - 17:56


#15

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 augustus 2009 - 18:07

[Het is een beetje lastig uitleggen zonder plaatje, dus ik adviseer om een schetsje te maken of te kijken naar het plaatje uit vorige link]

De kromme C bestaat uit twee delen: een stuk cirkelboog C1 en een stuk klaver C2. Apart worden die stukken beschreven door:
LaTeX met LaTeX
LaTeX met LaTeX

Maar op deze manier worden de twee delen tegelijkertijd beschreven als t van t1 tot t2 loopt. We willen de totale kromme C opsplitsen in C1 en C2. Een manier om dit te doen is om de klaver C2 te beschrijven tussen t1 en t2, en vervolgens de cirkelboog C1 te beschrijven van t2 tot een geschikt tijdstip t3 erna. Er geldt t2-t1=pi/4, dus t3=t2+pi/4.
Dus we moeten een tijdstranslatie toepassen op het functievoorschrift van C1 hierboven zodat hetzelfde stuk cirkelboog wordt beschreven tussen t2 en t2+pi/4. Simpel:
LaTeX met LaTeX

Nu geldt LaTeX
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures