Hallo
wie kan mij op weg helpen met dit type van opgaves: (eventueel het verband met vectorvelden)
Bereken met behulp van de stelling van Green de oppervlakte buiten een klavertje vier (r=sin(2*theta)) en binnen een klavertje drie (r=sin(3*theta)).
Bereken als toepassing van de stelling van Green de oppervlakte tussen een klavertje vier met vgl in poolcoördinaten r=2*sin(2*theta) en de cirkel met vgl x^2+y^2=2 (in het eerste kwadrant).
Alvast bedankt
Laatste berichten
-
15:56
Programmeren met vectoren 6
-
14:53
Straatklok loopt 5 minuten voor 12
-
23:12
speciale rel. theorie 10
-
22:57
wig 6
-
22:36
Gravity and gravitation 4
-
22:24
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 10
-
19:47
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
19:44
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
19:12
Rood laserlicht 3
-
17:30
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
16:34
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
25 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
25 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
25 apr
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
25 apr
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
[wiskunde] stelling van green
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 2.609
Re: [wiskunde] stelling van green
Voor
Opmerking: het rekenwerk heb ik weggelaten, maar dat heb je normaal gezien in je cursus Analyse wel gezien.
\(r=f(\theta)\)
We herschrijven in parametervorm:\(\left\{ \begin{array}{rcl}x=f(\theta)cos\theta\\ y=f(\theta)sin\theta\end{array}\right.\)
\(\left\{ \begin{array}{rcl}dx = (f'*cos\theta - f*sin\theta)d\theta\\ dy = (f'*sin\theta + f*cos\theta)d\theta\end{array}\right.\)
Het volgende volgt uit Green: \(Opp(G) = \iint_G dxdy = \frac{1}{2} \oint_C xdy-ydx\)
en \(xdy-ydx = f^2d\theta\)
Als je dat dus invult in die formule voor de oppervlakte krijg je:\(Opp(G) = \frac{1}{2}\int_{\theta1}^{\theta2}f^2(\theta)d\theta\)
En die laatste formule kan je dan toepassen op je klavertjes door gewoon f in te vullen.Opmerking: het rekenwerk heb ik weggelaten, maar dat heb je normaal gezien in je cursus Analyse wel gezien.
-
- Berichten: 8
Re: [wiskunde] stelling van green
Bedankt voor je antwoord, ik kan op die manier enkel de oppervlakte van een klavertje berekenen, stel nu dat ik de enkel oppervlakte wil die buiten de cirkel x^2 + y^2 = 2 ligt?
-
- Berichten: 2.609
Re: [wiskunde] stelling van green
Omdat het een cirkel is zou ik in eerste plaats gewoon de gekende formule gebruiken:Bedankt voor je antwoord, ik kan op die manier enkel de oppervlakte van een klavertje berekenen, stel nu dat ik de enkel oppervlakte wil die buiten de cirkel x^2 + y^2 = 2 ligt?
\(Opp = r^2*\pi\)
Maar als je het met Green-Riemann wil doen, kan je de parametervergelijking van je cirkel opstellen, dan kan je weer dx en dy berekenen en integreren.Je kan ook gewoon de cirkel in poolcoördinaten zetten en dan kan je ineens de formule van hierboven opnieuw toepassen. Je kan in dit geval rechtstreeks uit de vergelijking afleiden dat het een cirkel met middelpunt de oorsprong en straal
\(\sqrt 2\)
, dus kan je zeggen dat de vergelijking in poolcoördinaten \(r = \sqrt 2\)
is.En dan krijg je:
\(Opp(G) = \frac{1}{2}\int_{\theta1}^{\theta2}r^2d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}2d\theta = 2\pi (=(\sqrt 2)^2\pi)\)
-
- Berichten: 8
Re: [wiskunde] stelling van green
Akkoord, maar ik kan toch zomaar niet opp klavertje - opp cirkel doen? Ik zoek de oppervlakte van het klavertje (bv. r:=2sin(2t) dat buiten de cirkel (bv. x^2+y^2=2) ligt (enkel in het eerste kwadrant)
-
- Berichten: 7.556
Re: [wiskunde] stelling van green
Zie ook hier.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
-
- Berichten: 8
Re: [wiskunde] stelling van green
bedankt, maar dat helpt me weinig verder.Zie ook hier.
-
- Berichten: 7.556
Re: [wiskunde] stelling van green
Het is toch dezelfde opgave? TS vraagt zich hetzelfde af als jij hierboven:
en
Het antwoord is nee:Ik kan toch niet zomaar de oppervlakte van de klaver aftrekken van de oppervlakte van de cirkel veronderstel ik..
yoralin schreef:De kromme C = de boord van het gebied, bestaat hier uit twee stukken : een cirkelboogje en een gedeelte van (de rand van) het klavertje vier.
(Opletten met de parametristatie van de cirkelboog : 'eindpunt' van de ene kromme = 'beginpunt' van de andere !)
en
Begin eens met de laatste vraag: kun je de snijpunten van beide krommen vinden?Je moet integreren over de kromme die het gebied begrenst. Je kan de snijpunten van beide krommen vinden...?
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
-
- Berichten: 8
Re: [wiskunde] stelling van green
sqrt(2)=2*sin(2*t) geeft twee oplossingen voor t?Phys schreef:Het is toch dezelfde opgave? TS vraagt zich hetzelfde af als jij hierboven:
Het antwoord is nee:
en
Begin eens met de laatste vraag: kun je de snijpunten van beide krommen vinden?
-
- Berichten: 7.556
Re: [wiskunde] stelling van green
Ik neem aan de je met "nee" bedoelt dat je de snijpunten niet kunt vinden. Het zou handig zijn als je even laat zien wat je geprobeerd hebt en wat je niet begrijpt. Het klavertje wordt beschreven door r(t)=2sin(2t). De cirkel door r(t)=sqrt(2).
We zijn geïnteresseerd in het eerste kwadrant, wat betekent
We zijn geïnteresseerd in het eerste kwadrant, wat betekent
\(0\leq t\leq\frac{\pi}{2}\)
. Zoals je in het plaatje in het andere topic kunt zien, zijn er in dit kwadrant twee snijpunten. We zijn dus op zoek naar twee t-waarden waarvoor geldt\(\begin{cases}2\sin(2t)=\sqrt 2 \\0\leq t\leq\frac{\pi}{2}\)
\\edit: je hebt je bericht gewijzigd, dus mijn eerste zin klopt niet meer. Het antwoord is hierboven te lezen Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
-
- Berichten: 8
Re: [wiskunde] stelling van green
Bedankt, een of andere dubbele integratie doen van t1 tot t2 nu?
t1 zou Pi/8 moeten zijn en t2 Pi/2-Pi/8, klopt dat?
t1 zou Pi/8 moeten zijn en t2 Pi/2-Pi/8, klopt dat?
-
- Berichten: 7.556
Re: [wiskunde] stelling van green
Yep: t1=pi/8 en t2=3.pi/8!t1 zou Pi/8 moeten zijn en t2 Pi/2-Pi/8, klopt dat?
Bedankt, een of andere dubbele integratie doen van t1 tot t2 nu?
\(\frac{1}{2}\int_{C}^{}xdy-ydx\)
is het oppervlak omsloten door de kromme C. De kromme C die het bedoelde oppervlak omsluit bestaat uit twee delen: een stukje cirkelboog C1 en een stukje van de klaver C2. Nu we de snijpunten hebben gevonden, kennen we C. We moeten echter nog een slimme aanpassing maken in het functievoorschrift van een van de krommen (translatie van t) om ervoor te zorgen dat we de integraal kunnen opsplitsen in twee delen.Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
-
- Berichten: 2.609
Re: [wiskunde] stelling van green
Lol, ik had het verkeerd begrepen, ik dacht dat je de oppervlaktes van die figuren individueel moest hebben.
-
- Berichten: 8
Re: [wiskunde] stelling van green
bedankt voor je uitleg, maar ik zie niet in hoe ik nu de integraal verder moet opstellen.Phys schreef:Yep: t1=pi/8 en t2=3.pi/8!
\(\frac{1}{2}\int_{C}^{}xdy-ydx\)is het oppervlak omsloten door de kromme C. De kromme C die het bedoelde oppervlak omsluit bestaat uit twee delen: een stukje cirkelboog C1 en een stukje van de klaver C2. Nu we de snijpunten hebben gevonden, kennen we C. We moeten echter nog een slimme aanpassing maken in het functievoorschrift van een van de krommen (translatie van t) om ervoor te zorgen dat we de integraal kunnen opsplitsen in twee delen.
-
- Berichten: 7.556
Re: [wiskunde] stelling van green
[Het is een beetje lastig uitleggen zonder plaatje, dus ik adviseer om een schetsje te maken of te kijken naar het plaatje uit vorige link]
De kromme C bestaat uit twee delen: een stuk cirkelboog C1 en een stuk klaver C2. Apart worden die stukken beschreven door:
Dus we moeten een tijdstranslatie toepassen op het functievoorschrift van C1 hierboven zodat hetzelfde stuk cirkelboog wordt beschreven tussen t2 en t2+pi/4. Simpel:
De kromme C bestaat uit twee delen: een stuk cirkelboog C1 en een stuk klaver C2. Apart worden die stukken beschreven door:
\(C_1=\sqrt{2}(\cos t,\sin t)\)
met \(t_1\leq t\leq t_2\)
\(C_2=2\sin(2t)(\cos t,\sin t)\)
met \(t_1\leq t\leq t_2\)
Maar op deze manier worden de twee delen tegelijkertijd beschreven als t van t1 tot t2 loopt. We willen de totale kromme C opsplitsen in C1 en C2. Een manier om dit te doen is om de klaver C2 te beschrijven tussen t1 en t2, en vervolgens de cirkelboog C1 te beschrijven van t2 tot een geschikt tijdstip t3 erna. Er geldt t2-t1=pi/4, dus t3=t2+pi/4.Dus we moeten een tijdstranslatie toepassen op het functievoorschrift van C1 hierboven zodat hetzelfde stuk cirkelboog wordt beschreven tussen t2 en t2+pi/4. Simpel:
\(C_1=\sqrt{2}(\cos (t-\frac{\pi}{4}),\sin (t-\frac{\pi}{4}))\)
met \(t2\leq t\leq t_2+\frac{\pi}{4}\)
Nu geldt \(\int _C=\int_{C_1}+\int_{C_2}=\int_{t1}^{t2}+\int_{21}^{t2+\pi/4}\)
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
