Springen naar inhoud

Gemiddelde afstand in n-dimensies


  • Log in om te kunnen reageren

#1

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 16 augustus 2009 - 20:38

Wat is de gemiddelde afstand tussen 2 punten in een n-dimensionale kubus (Euclidische afstand)?
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 16 augustus 2009 - 22:40

Wat is de gemiddelde afstand tussen 2 punten in een n-dimensionale kubus (Euclidische afstand)?


Wil je iets duidelijker zijn? Waarover wordt gemiddeld? Denk aan de paradox van Bertrand:

http://nl.wikipedia...._(kansrekening)

#3

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 16 augustus 2009 - 22:58

Wil je iets duidelijker zijn? Waarover wordt gemiddeld?

Sorry, maar als de vraag zo gesteld wordt is hij toch eenduidig? Ik dacht dat de paradox van Bertrand een schijnparadox was, aangezien 2 van zijn methoden niet-uniforme verdelingen gebruiken voor zijn willekeurige koorde... ;) (gezien een willekeurig lijnstuk gedefinieerd is als een lijnstuk tussen 2 willekeurige punten, hier dus 2 willekeurige punten op een cirkel) maar zoiets gaat afhangen van interpretatie waarschijnlijk.

Wat ik dus bedoel: "Neem 2 willekeurige punten in een n-dymensionale hyperkubus met zijde 1 (uniforme verdeling). Wat is de gemiddelde afstand tussen de 2 punten."

Of neem 2 willekeurige n-dimensionale vectoren u en v met iedere co÷rdinaat uniform verdeeld tussen 0 en 1. Wat is de te verwachten waarde voor ||u-v||.

Ik heb het geprobeerd, maar vind niets dat lijkt overeen te komen met mijn experimentele waarden...

Veranderd door 317070, 16 augustus 2009 - 22:59

What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#4

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 16 augustus 2009 - 23:06

Zo is het duidelijk.

#5

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 16 augustus 2009 - 23:15

Voor de uitleg over de paradox van Bertrand zie deze uitleg.

Voor een n dimensionale kubus kun je het antwoord op je buik schrijven.
Voor een vierkant kan ik wel een oplossing bereken.
Probeer dat zelf maar eens. Dat is geen sinecure.

#6

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 augustus 2009 - 23:22

Of neem 2 willekeurige n-dimensionale vectoren u en v met iedere co÷rdinaat uniform verdeeld tussen 0 en 1. Wat is de te verwachten waarde voor ||u-v||.

De te verwachte waarde is iets anders dan de verwachtingswaarde. De verwachtingswaarde van het aantal gegooide ogen van een dobbelsteen is 3.5, maar het is absurd om te verwachten dat je 3.5 gooit (dat is immers onmogelijk). Maar het is duidelijk dat je dat niet bedoelde.

Het lijkt me correct om te veronderstellen dat u en v onafhankelijk zijn, en bovendien iedere co÷rdinaat onafhankelijk wordt gekozen. Akkoord?

Voor n=1 is de vraag dus volgens mij: zij X en Y twee U[0,1]-verdeelde stochasten. Wat is LaTeX ? Maar wellicht maak ik een denkfout.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#7

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 16 augustus 2009 - 23:23

Voor een n dimensionale kubus kun je het antwoord op je buik schrijven.
Voor een vierkant kan ik wel een oplossing bereken.
Probeer dat zelf maar eens. Dat is geen sinecure.

Daar was ik al bang voor, en eigenlijk zou ik ook nog de standaardvariantie/verdeling nodig hebben :P

Hier
heb ik ondertussen wel een oplossing gevonden, maar ik ben bang/denk dat hij er (serieus) naast zit. Is het echt zo simpel, nee toch? ;)

Edit: hier staat er een uitwerking in example 1. Maar ik ben bang dat ik inderdaad een exacte methode op mijn buik ga mogen schrijven, en er is al zo weinig plaats op ;)

@Phys, inderdaad de verkeerde term. Sorry, statistiek is al een semester geleden...
voor n=1 is het inderdaad eenvoudig: 1/3, voor hogere dimensies wordt het wel snel moeilijker...

Veranderd door 317070, 16 augustus 2009 - 23:32

What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#8

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 augustus 2009 - 02:20

We nemen aan dat de twee punten onafhankelijk worden gekozen, en dat per punt alle n coordinaten onafhankelijk worden gekozen.
Voor n=1 geldt LaTeX
Maar dan geldt voor willekeurige n toch eenvoudig

LaTeX ?
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#9

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 17 augustus 2009 - 07:27

Maar dan geldt voor willekeurige n toch eenvoudig

eenvoudig???

#10

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 augustus 2009 - 12:42

Tuurlijk, dat is geen eenvoudige integraal, maar het is in ieder geval een exact antwoord:

maar ik ben bang dat ik inderdaad een exacte methode op mijn buik ga mogen schrijven, en er is al zo weinig plaats op

Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#11

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 17 augustus 2009 - 14:26

Voor het eenheidsvierkant krijg ik LaTeX .

#12

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 17 augustus 2009 - 14:51

Bewijsschets.
We kiezen 2 punten in het vierkant, zeg (a,b) en (c,d).
We "tellen" vervolgens alle 2-punt systemen die dezelfde orientatie en afstand hebben als het paar (a,b),(c.d).
Stel het paar (0,0),(p,q) is een van die 2-punten in dat systeem. Stel voorlopig p>0 en q>0.
Hun afstand is LaTeX en de vectorpijl (0,0)->(p,q) kan 1-p naar rechts schuiven en 1-q naar boven.
Dus het "aantal" van dit soort vectoren is (1-p)(1-q).
p en q mogen negatief zijn, dus (p,q) kan in elk kwadrant liggen. Dat levert een verviervoudiging op van het mogelijke aantal vectoren.
Dus de gemiddelde afstand is LaTeX .
Hierin poolco÷rdinaatsubstitutie toepassen levert het resultaat.

Veranderd door PeterPan, 17 augustus 2009 - 14:58


#13

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 17 augustus 2009 - 15:56

Bewijsschets. (...)

Aha, deze methode is inderdaad (veel) eenvoudiger als degene die ik gebruikt heb. Even zien of ik hem kan uitwerken voor de getallen die ik nodig heb.
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures