Springen naar inhoud

[wiskunde] meervoudige integraal met cilinderco÷rdinaten


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Elastiekjee

    Elastiekjee


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 20 augustus 2009 - 14:19

Dag allemaal,

ik zit met de volgende opgave die ik maar niet uitkom:

Meervoudige_integraal.jpg

Ik maak gebruik van cylinderco÷rdinaten en kies mijn integratiegrenzen zo:

-z: van 0 tot 1+r▓ (bekomen door x=rĚcosφ en y=rĚsinφ te vervangen en te vereenvoudigen; cos▓φ-sin▓φ=-1)
-r: van 0 tot 2 (bekomen door de vergelijking v.d. cilinder om te vormen naar de standaardvergelijking, 1/2 is dan de straal v.d. cilinder)
-φ: van 0 tot pi

Nu, ik denk dat ik mijn integratiegrenzen verkeerd kies(en daarom schrijf ik hier niet mijn hele uitwerking neer), dat vindt ik namelijk bij alle meervoudige integralen redelijk moeilijk.

Kan mij iemand zeggen of deze grenzen goed gekozen zijn?

Groeten.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Tommeke14

    Tommeke14


  • >250 berichten
  • 771 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 augustus 2009 - 16:40

Puur op eerste zicht:

cos▓φ-sin▓φ=-1

klopt niet, dat is beweren dat sin▓x-cos▓x = 1
en dat is niet zo

Vul dit eens opnieuw in, ik bekom hier alleszins een andere grens


En ik ben niet zeker, maar moet de grens van φ niet tot 2pi lopen?
Je wilt namelijk heel je cirkel afgaan

Veranderd door Tommeke14, 20 augustus 2009 - 16:41


#3

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 augustus 2009 - 17:07

Puur op eerste zicht:


klopt niet, dat is beweren dat sin▓x-cos▓x = 1
en dat is niet zo

Een vergelijking is geen identiteit die voor elke waarde van x geldt. als je x-en wil kiezen die voldoen aan sin▓x-cos▓x = 1 , dan is daar helemaal niets mis mee.

#4

yoralin

    yoralin


  • >100 berichten
  • 194 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 augustus 2009 - 17:25

z : van 0 tot 1-r2

voor de cilinder : r = cos φ ;) 0, dus φ ligt tussen -pi/2 en +pi/2 en r ligt tussen 0 en cos φ.

Dat komt uiteindelijk inderdaad 5 pi / 32 uit.

#5

Elastiekjee

    Elastiekjee


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 20 augustus 2009 - 18:20

Zo komt het inderdaad uit Yoralin, maar hoe kom je aan die grenzen van r en phi? Ik 'zie' het niet.

Hoe kan je makkelijk bij dit soort problemen de grenzen bepalen? z is meestal simpel maar r en phi heb ik altijd problemen mee. Ik doe het altijd zo maar dat is misschien verkeerd; ik stel mij voor dat r een vector is die het gebied dat je wil integreren volledig moet beschrijven met zijn pijlpunt, als ik mij dat zo voorstel weet ik hoe r in grootte moet veranderen en hoe r moet draaien om het hele gebied te 'tekenen'.

Dit is misschien een verkeerde benadering van het probleem want ik betrap mezelf erop vaak verkeerde grenzen te kiezen voor r en phi...

#6

yoralin

    yoralin


  • >100 berichten
  • 194 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 augustus 2009 - 18:47

hoe kom je aan die grenzen van r en phi?

In x2+y2-x = 0 vervang je x door r cos phi en y door r sin phi; deel dan door r
(r is niet nul behalve op de z-as, maar dat heeft geen invloed op 't volume).

Als je eenmaal weet dat die cilinder door cos phi = r gegeven wordt, is 't een kwestie van aflezen :
r :P 0 bij poolco÷rdinaten, dus cos phi :P 0 enz.

Je kan ook op de tekening zien dat phi tussen - pi / 2 en pi / 2 moet liggen :
phi is de hoek die de x-as maakt met de loodrechte projectie van de positievector op het xy-vlak.
Hier ligt die cilinder aan de "x :P 0-kant".

Met r cos phi = x = x^2 + y^2 ;) 0 zie je meteen ook dat cos phi ;) 0.

Hoe kan je makkelijk bij dit soort problemen de grenzen bepalen?

Oefenen, oefenen, ...
Soms is 't meteen van een tekening af te lezen (bvb. bij omwentelingsoppervlakken),
soms moet je 't uitschrijven (bvb. de grenzen voor r).

Ik 'zie' het niet.

Het komt inderdaad vaak enkel neer op 'het zien'. Ik weet niet of de uitleg hierboven je wat verder helpt.
Ik 'zie' het en dat zit er ongeveer achter...

Veranderd door yoralin, 20 augustus 2009 - 18:47


#7

Elastiekjee

    Elastiekjee


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 20 augustus 2009 - 19:00

De uitleg is toch wel nuttig voor mij dus bedankt voor de inzet!

Groeten





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures