Grafisch bepalen van gebonden extrema

Joachimm

Beste forumbezoekers

Ik slaag er niet in om inzicht te krijgen in volgend extremavraagstuk. (zie printscreen onderaan)

Grafisch zou ik zeggen dat punt (-4,0) een minimum is (buitenring), punt (4,0) een maximum (binnenring) en de andere twee aangeduide punten zadelpunten zijn voor f onder de gegeven nevenvoorwaarde. (Hoe ik deze zadelpunten moet narekenen is me ook een vraag, het is meer een gok van mij.)

Wanneer ik dan nareken met de lagrange multiplicatorenmethode bekom ik tweemaal een negatieve determinant voor de hessiaanmatrix. Dus dit zou betekenen dat de twee punten minima zijn. Maar klopt dit wel? En zoja, waar zit mijn redeneringsfout dan?

De matrices die ik bekom zijn respectievelijk voor punt (4; 0; -1,5) en (-4; 0; -1,25) [r1 0 8 0 2r 8 1 0 r3 0 0 3] EN [r1 0 -8 0 2r -8 1,5 0 r3 0 0 3,5].

Verder vraag ik me ook af of ik grafisch moet rekening houden met de snijpunten (0,4) en (0,-4).

Het is een hele boterham.

Ik ben de mensen die hiervoor even de tijd willen nemen dan ook zeer dankbaar.

Vriendelijke groeten,

Joachim

Afbeelding

Joachimm

Ik wil even laten weten dat ik zelf reeds een deelvraag heb kunnen beantwoorden.

Ik moet geen rekening houden met punten (0,4) en (0-4) aangezien de raaklijn van de niveaukromme van functie f daar niet samenvalt met de raaklijn aan de grafiek van de nevenvoorwaarde.

Rest dan enkel nog de andere 4 punten.

Vriendelijke groeten,

Joachim

TD

Wat is je redenering om te komen tot een minimum/maximum?

Getekend zijn de niveaulijnen, heb je een grafisch "idee" van het hele oppervlak?

Joachimm

Ik dacht dat hoe meer men naar het middelpunt van alle niveaukrommen gaat, hoe groter de waarde voor f zal zijn.

Vervolgens keek ik naar de punten waar de raaklijnen van de niveaukrommen van f en g, de nevenwaarde, samenvallen en veronderstelde ik dat het punt dat het dichtst bij het middelpunt ligt, het maximum is.

Maar ik ben daar dus niet zeker van en ik denk dat mijn redenering hier al fout is.

TD

Is het punt (1,0,f(1,0)) het minimum of maximum van f?

Dus: zijn de niveaukrommen steeds hoger of lager gelegen, als je naar (of weg van) dat middelpunt beweegt?

Nature

Een negatieve waarde van de Hessiaanmatrix geeft aan dat je met een zadelpunt te maken hebt. Op de figuur komt dit overeen met 2 krommen die elkaar snijden ter hoogte van dit punt. Als je de methode van de Lagrangeparameters toepast, kom je inderdaad x1=4 & x2=0, x1 =-4 & x2=0.

Wel, op die punten zal je functie f een minimum waarde bereiken, als je Hessiaanmatrix groter als 0 is. Laten we die dus berekenen, zoals in de afbeelding aangegeven. Je zal vinden dat de Hessiaanmatrix in de eerder genoemde punten positief is. Hierna moeten we nog kijken of we met een minimum of een maximum te maken hebben. Daarvoor kijken we naar de 2de partiele afgeleide van de functie (naar x1 of x2, maakt niet uit). Je zal zien dat die waarde positief is, en dat we dus met een minimum te maken hebben.

(Hoe kom je aan die grote matrices?)

Joachimm

Joachimm schreef:Ik dacht dat hoe meer men naar het middelpunt van alle niveaukrommen gaat, hoe groter de waarde voor f zal zijn.

Vervolgens keek ik naar de punten waar de raaklijnen van de niveaukrommen van f en g, de nevenwaarde, samenvallen en veronderstelde ik dat het punt dat het dichtst bij het middelpunt ligt, het maximum is.

Maar ik ben daar dus niet zeker van en ik denk dat mijn redenering hier al fout is.

Volgens mij is dat het maximum van f.

Joachimm

Nature schreef:Een negatieve waarde van de Hessiaanmatrix geeft aan dat je met een zadelpunt te maken hebt. Op de figuur komt dit overeen met 2 krommen die elkaar snijden ter hoogte van dit punt. Als je de methode van de Lagrangeparameters toepast, kom je inderdaad x1=4 & x2=0, x1 =-4 & x2=0.

Wel, op die punten zal je functie f een minimum waarde bereiken, als je Hessiaanmatrix groter als 0 is. Laten we die dus berekenen, zoals in de afbeelding aangegeven. Je zal vinden dat de Hessiaanmatrix in de eerder genoemde punten positief is. Hierna moeten we nog kijken of we met een minimum of een maximum te maken hebben. Daarvoor kijken we naar de 2de partiele afgeleide van de functie (naar x1 of x2, maakt niet uit). Je zal zien dat die waarde positief is, en dat we dus met een minimum te maken hebben.

(Hoe kom je aan die grote matrices?)

Om te bepalen of je een max of min hebt moet je toch de veralgemeende hessiaanmatrix gebruiken bij gebonden extrema? Of ben ik mis?

Ik dacht dat jouw matrix zou gelden als je een ongebonden extremum zoekt.

TD

Volgens mij is dat het maximum van f.

Wat is de functiewaarde in (1,0)? En bepaal dan eens de functiewaarde in eender welk ander punt...

Joachimm

Wat is de functiewaarde in (1,0)? En bepaal dan eens de functiewaarde in eender welk ander punt...

Het minimum dus.

Ik zag het bos niet meer door de bomen waardoor ik mij domweg liet leiden door een andere oefening waar het omgekeerd was. Bedankt om me hier al op het juiste spoor te zetten.

Dus punt (4,0) is dan een minimum?

En is punt (-4,0) dan een maximum? En wat met de andere 2 punten?

Nature

Joachimm schreef:Om te bepalen of je een max of min hebt moet je toch de veralgemeende hessiaanmatrix gebruiken bij gebonden extrema? Of ben ik mis?

Ik dacht dat jouw matrix zou gelden als je een ongebonden extremum zoekt.

Ik ben niet echt vertrouwd met die naamgeving. Maar aangezien jij het over hessiaanmatrices had, dacht ik even te verduidelijken hoe het in elkaar steekt. Je hebt bij deze oefening zo'n Hessiaanmatrix feitelijk niet nodig, enkel maar de punten waar een minimum of maximum bereikt wordt. En die vind je met de methode van Lagrangeparameters.

Om te zien wat voor soort punten je hebt berekend, moet je, zoals TD aangeeft, de functiewaarden van die punten berekenen.

TD

Joachimm schreef:Dus punt (4,0) is dan een minimum?

En is punt (-4,0) dan een maximum? En wat met de andere 2 punten?

Ben je het nu grafisch aan het bekijken of aan het berekenen? Blijkbaar zie je het grafisch (nog) niet.

Doe het dan eerst even met Lagrange (uitrekenen) voor de vier stationaire punten, wat vind je dan?

Joachimm

Grafisch denk ik dat ik het door heb...

(4,0) is een minimum (dichtste stationair punt tegen minimum van f als we naar de niveaukrommen kijken)

(-2; 3,6) en (-2; -3,6) de maxima, omgekeerde redenering.

(-4,0) is een zadelpunt omdat het een stationair punt is, maar geen minimum of maximum.

Is dit een correct redenering?

En nu ga ik het grafisch eens narekenen.

TD

Het heeft niet te maken met "hoe dicht" het bij het middelpunt ligt. Je moet kijken naar hoe de kromme van de nevenvoorwaarde gelegen is ten opzichte van de niveaukromme (van f) in het raakpunt. Denk eraan dat een niveaukromme een lijn is van constante functiewaarden en dat verder gelegen niveaukrommen (in dit geval) grotere functiewaarden betekenen.

Joachimm

Het heeft niet te maken met "hoe dicht" het bij het middelpunt ligt. Je moet kijken naar hoe de kromme van de nevenvoorwaarde gelegen is ten opzichte van de niveaukromme (van f) in het raakpunt. Denk eraan dat een niveaukromme een lijn is van constante functiewaarden en dat verder gelegen niveaukrommen (in dit geval) grotere functiewaarden betekenen.

Dank jullie wel voor deze uitleg. Het heeft me zeker en vast op het goede spoor gebracht en ik heb inzicht gekregen in dit soort oefeningen.

Er zit mij nog 1 ding dwars... de zadelpunten, hoe zie je dit grafisch en rekenkundig?

Hieronder zie je mijn oplossing, waar ik niet uit kan afleiden dat dit een zadelpunt is...

2(x-1)² + 3y² - 1 + λ ( x² + y² - 16)

Stelsel:=

Partieel naar x : (a) = 0

Partieel naar y : (b) = 0

Partieel naar λ : © = 0

(a) 4(x-1) + 2 λ x = 0

(b) 6y + 2 λ y = 0

© x² + y² -16 = 0

Na 10 minuten berekeningen volgende punten gevonden:

(-2; 3,4641 ; -3) ^ (-2; -3,4641 ; -3)

(4, 0, -1,5) ^ (-4,0 , -2,5)

H*1 = | 0 2x 2y |

| 2x 4+2 λ 0 |

| 2y 0 6+2 λ |

Det punt 1 = 95,99 > 0 dus maximum (stemt overeen met grafische uitkomst)

Det punt 2 = 95,99 > 0 dus maximum (stemt overeen met grafische uitkomst)

Det punt 3 = -192 < 0 dus minimum (stemt overeen met grafische uitkomst)

Det punt 4 = -64

WRS ZADELPUNT MAAR HOE WEET IK DIT??? Is dit omdat het op de buitenste cirkel ligt? En zoja, hoe weet ik dit dan in een oefening zonder grafiek?

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Grafisch bepalen van gebonden extrema

Grafisch bepalen van gebonden extrema

Re: Grafisch bepalen van gebonden extrema

Re: Grafisch bepalen van gebonden extrema

Re: Grafisch bepalen van gebonden extrema

Re: Grafisch bepalen van gebonden extrema

Re: Grafisch bepalen van gebonden extrema

Re: Grafisch bepalen van gebonden extrema

Re: Grafisch bepalen van gebonden extrema

Re: Grafisch bepalen van gebonden extrema

Re: Grafisch bepalen van gebonden extrema

Re: Grafisch bepalen van gebonden extrema

Re: Grafisch bepalen van gebonden extrema

Re: Grafisch bepalen van gebonden extrema

Re: Grafisch bepalen van gebonden extrema

Re: Grafisch bepalen van gebonden extrema