Springen naar inhoud

[wiskunde] grafiek van een vergelijking


  • Log in om te kunnen reageren

#1

dvg

    dvg


  • >25 berichten
  • 27 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 26 augustus 2009 - 13:31

Hallo,

Waarom ligt de grafiek van de vergelijking f(x,y)=z=2x+3y+2 in een 3D assenstelsel en de grafiek van f(x,y)=z=2x+3y+2=0 in 2D-assenstelsel?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 augustus 2009 - 14:02

De grafiek van een functie van twee variabelen f(x,y) kan je weergeven in een 3D-assenstelsel door de variabelen op twee assen te zetten en de functiewaarde z = f(x,y) uit te zetten op een derde as. Het oppervlak dat je zo krijgt kan je snijden met een vlak op een constante hoogte z = c. De kromme die je dan krijgt als snijlijn van dit vlak met het oppervlak, met vergelijking f(x,y) = c, kan je weergeven in een vlak. In jouw geval is dat met c=0, je kan die "niveaulijn" (zoals dat heet) in een vlak tekenen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

dvg

    dvg


  • >25 berichten
  • 27 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 26 augustus 2009 - 17:04

Dus zowel in 2D als in 3D is de grafiek van f(x,y)=z=2x+3y+2=0 een kromme?

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 augustus 2009 - 17:30

Nee, maar je notatie is ook niet handig. Vertrek van de algemene functie:

f(x,y) = 2x+3y+2 of als je z = f(x,y) stelt, ook nog z = 2x+3y+2

Dit is een oppervlak (in dit geval een vlak) dat je in 3D kan weergeven.

Een niveaukromme is een kromme die je krijgt door dit oppervlak te snijden met een vlak op een constante hoogte z = c. Die kromme heeft als vergelijking f(x,y) = c, weer te geven in een vlak. In dit geval is dat 2x+3y+2 = 0, dat is een rechte (in het vlak). Als je dit in 3D zou plotten, krijg je een vlak loodrecht op deze rechte, evenwijdig met de z-as. Voeg je de bijkomende vergelijking z = 0 toe, dan krijg je gewoon die kromme in het vlak z = 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

dvg

    dvg


  • >25 berichten
  • 27 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 26 augustus 2009 - 17:44

Maar je uitleg komt er wel op neer dat f(x,y)=z=2x+3y+2=0 een kromme is in 3D, namelijk een kromme in het XY-vlak. Niet?

#6

HosteDenis

    HosteDenis


  • >250 berichten
  • 689 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 augustus 2009 - 17:52

Maar je uitleg komt er wel op neer dat f(x,y)=z=2x+3y+2=0 een kromme is in 3D, namelijk een kromme in het XY-vlak. Niet?


Het komt er gewoon op neer dat de functie voor LaTeX een 3D oppervlak beschrijft, maar indien z ipv een domein, een specifieke waarde aanneemt, dan beschouwen we enkel een 2D kromme in een vlak evenwijdig aan het x-y-vlak. Voor z = 0, is dit het x-y-vlak.


Denis

Veranderd door HosteDenis, 26 augustus 2009 - 17:53

"Her face shown like the sun that I strived to reach."

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 augustus 2009 - 18:10

Maar je uitleg komt er wel op neer dat f(x,y)=z=2x+3y+2=0 een kromme is in 3D, namelijk een kromme in het XY-vlak. Niet?

Die notatie is wat verwarrend. Is z = f(x,y) nu variabel? Blijkbaar niet, erachter zet je nog "=0".
De vergelijking "2x+3y+2=0" kan je grafisch zowel in 2D als in 3D (verschillend) voorstellen...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

dvg

    dvg


  • >25 berichten
  • 27 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 26 augustus 2009 - 19:34

Die notatie is wat verwarrend. Is z = f(x,y) nu variabel? Blijkbaar niet, erachter zet je nog "=0".


z is constant gehouden op 0


Even terzijde. Het is misschien een domme vraag maar is er strikt gezien een verschil tussen
f(x,y)=z=2x-y=0
en
f(x,y)=2x-y=0?

Het eerste is een vergelijking met 3 variabelen en het tweede is een vergelijking met twee variabelen.
Mag je de eerste uitdrukking ook een vergelijking met twee variabelen noemen omdat die z toch 0 is (en dus weggelaten kan worden)?

#9

HosteDenis

    HosteDenis


  • >250 berichten
  • 689 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 augustus 2009 - 19:57

z is constant gehouden op 0


Even terzijde. Het is misschien een domme vraag maar is er strikt gezien een verschil tussen
f(x,y)=z=2x-y=0
en
f(x,y)=2x-y=0?

Het eerste is een vergelijking met 3 variabelen en het tweede is een vergelijking met twee variabelen.
Mag je de eerste uitdrukking ook een vergelijking met twee variabelen noemen omdat die z toch 0 is (en dus weggelaten kan worden)?



Nee, er is geen verschil. En beide vgl'en hebben evenveel variabelen, want in beide is f(x,y) gedefinieerd, in de tweede geef je gewoon aan eenzelfde term een tweede benaming door f(x,y) = z.


Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

#10

dvg

    dvg


  • >25 berichten
  • 27 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 26 augustus 2009 - 20:42

Dus ze hebben allebei 3 variabelen?

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 augustus 2009 - 21:12

Het aantal onafhankelijke variabelen is twee, namelijk x en y. De beschouwde functie is een functie van die twee variabelen. De functiewaarde f(x,y) (het beeld) kan je grafisch weergeven op een derde as, je noemt dit bijvoorbeeld z. Dit is een afhankelijke variabele, zoals y dat is bij y = f(x), een functie van een (onafhankelijke) veranderlijke (x).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

HosteDenis

    HosteDenis


  • >250 berichten
  • 689 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 augustus 2009 - 00:33

Dus ze hebben allebei 3 variabelen?



Nee, beiden 2.

z, ofwel f(x,y), neemt maar 1 vaste waarde aan per grafiek die je kan plotten, in jouw geval 0, en is dus geen variabele. Je kan dus de grafiek plotten in een assenstelsel met maar 2 assen, en dus heeft de functie maar 2 variabelen (waarmee ik niet wil zeggen dat het aantal assen het aantal variabelen voorspelt, want het is eigenlijk andersom).


Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

#13

dvg

    dvg


  • >25 berichten
  • 27 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 27 augustus 2009 - 08:11

Dus een functievoorschrift van een functie van twee onafhankelijke variabelen is een vergelijking met 3 variabelen (1 afhankelijke variabele en 2 onafhankelijke variabelen) of een vergelijking met 2 variabelen (2 onafhankelijke variabelen en 1 constante indien het om een constante functie gaat)?

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 augustus 2009 - 09:57

Dus een functievoorschrift van een functie van twee onafhankelijke variabelen is een vergelijking met 3 variabelen (1 afhankelijke variabele en 2 onafhankelijke variabelen)

Zo kan je dat zien ja, net zoals y = f(x) het voorschrift is van een functie van een (onafhankelijke) variabele, voor de functiewaarde f(x) gebruik je een tweede (afhankelijke) variabele.

(...) of een vergelijking met 2 variabelen (2 onafhankelijke variabelen en 1 constante indien het om een constante functie gaat)?

Als dit nog terugslaat op "een functievoorschrift van een functie van twee onafhankelijke variabelen is", nee. Dan gaat het niet meer over het voorschrift van die functie. Dan heb je een vergelijking van een niveaukromme van die functie, bijvoorbeeld.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

dvg

    dvg


  • >25 berichten
  • 27 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 27 augustus 2009 - 11:24

f(x,y)=0 is toch een functie van 2 onafhankelijke variabelen ťn een vergelijking met 2 variabelen??
(Ik zeg niet dat het over ťťn en dezelfde functie moet gaan)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures