[wiskunde] limieten

Skyliner

het is vrij duidelijk:

Toon aan: lim n->+

1/n^2 = 0

via de formele definitie van limieten.

Nu ik weet wel wat het formalisme van een limiet is:

voor alle ε > 0 bestaat er ook een δ > 0 : hiervoor geldt dat alle x waarden die een element zijn van domein A: 0 < |x - a| < δ ==> |f(x) - b| < ε

met andere woorden, we kunnen met willekeurige precisie, door voldoende dicht in de buurt van a te blijven, het getal b door de functie 'f' benaderen.

Maar, het probleem is dat ik niet juist op weg kan. Ik had al eens eerder aangetoond dat de limiet van 1/x^2 naar +

gaat als x nul nadert. Maar hier zie ik het niet meer. ik vergeet altijd hoe je moet beginnen.

iemand raad?

bedankt!

mathfreak

Je gebruikt hier een verkeeerde limietdefinitie. De definitie die jij aanhaalt heeft betrekking op de limietwaarde bij een functie. Je moet uitgaan van de definitie voor de limiet van een rij.

Skyliner

oh ja, dat is al 1 punt inderdaad.

even denken, dus je zou de stelling moeten bewijzen adhv. het feit dat als een term in de noemer oneindig groot is, je functie naar nul nadert.

dus in dat geval is: lim n

+

t_n = b, dus voor alle ε >0 bestaat er een n₀ die een element is van de natuurlijke getallen, en dus voor alle n waarden > n₀ : |t_n - b| < ε

is dit em? dat is de enige die ik weet voor rijen, die convergent zijn.

maar wat dan?

Phys

Wat ongelukkig geformuleerd, maar dat is em:

\(\lim_{n\to\infty}a_n=b\)

betekent: voor alle

\(\epsilon>0\)

is er een

\(N\in\nn\)

zodat

\(n>N\Rightarrow |a_n-b|<\epsilon\)

.

Oftewel, voor iedere foutmarge epsilon moet je een index N vinden zodat, voor alle n voorbij die index N, de fout tussen a_n en b kleiner dan epsilon is. Toegepast op jouw rij

\(a_n=\frac{1}{n^2}\)

met

\(b=0\)

:

Zij

\(\epsilon>0\)

willekeurig. Vind

\(N\in\nn\)

zodat

\(n>N\Rightarrow \left|\frac{1}{n^2}-0 \right|=\left|\frac{1}{n^2}\right|=\frac{1}{n^2}<\epsilon\)

.

Dit dit kan, is eenvoudig aan te voelen: 1/n² wordt kleiner naarmate je n groter kiest. Dus door N maar groot genoeg te kiezen (en dus n>N ook groot genoeg is), krijg je 1/n² klein genoeg.

mathfreak

Merk op dat de rij monotoon dalend is en dat de rij begrensd is. Dat betekent dat deze rij inderdaad een limiet heeft.

Skyliner

Dit dit kan, is eenvoudig aan te voelen: 1/n2 wordt kleiner naarmate je n groter kiest. Dus door N maar groot genoeg te kiezen (en dus n>N ook groot genoeg is), krijg je 1/n2 klein genoeg.

ja, aanvoelen kan ik meestal wel, aantonen is iets anders

Maar eh, is je taak in dergelijke oefeningen ook niet, dat je nog een interval construeert? of bedoel je dat juist, als je zegt vind N element van natuurlijke getallen? waarschijnlijk wel.

want wat ik zou doen nog, en wat jij onrechtstreeks ook misschien hebt gedaan, is:

1/n² < ε <=> n² > 1/ε <=> [wortel]n² > [wortel]1/ε <=> n >1/

ε

want er staat altijd in onze opgaven: 'knoei met |1/n²| < ε

Phys

1/n² < ε <=> n² > 1/ε <=> [wortel]n² > [wortel]1/ε <=> n >1/ ε

Ja hoor, dat is goed. Ik kies zelf het liefst voor de eenvoudige weg (je afschatting hoeft niet zo sterk mogelijk te zijn en ik houd niet zo van wortels):

Zij

\(\epsilon>0\)

Merk op dat de rij monotoon dalend is en dat de rij begrensd is. Dat betekent dat deze rij inderdaad een limiet heeft.

Dat klopt natuurlijk, maar dat wist je al. Als je kunt aantonen dat de limiet 0 is, heb je in het bijzonder aangetoond dat de limiet bestaat.

Skyliner

oke super!

bedankt

Phys

Graag gedaan!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] limieten

[wiskunde] limieten

Re: [wiskunde] limieten

Re: [wiskunde] limieten

Re: [wiskunde] limieten

Re: [wiskunde] limieten

Re: [wiskunde] limieten

Re: [wiskunde] limieten

Re: [wiskunde] limieten

Re: [wiskunde] limieten