Springen naar inhoud

[wiskunde] limieten


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Skyliner

    Skyliner


  • >100 berichten
  • 247 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 augustus 2009 - 10:12

het is vrij duidelijk:

Toon aan: lim n->+ ;) 1/n^2 = 0

via de formele definitie van limieten.

Nu ik weet wel wat het formalisme van een limiet is:

voor alle ε > 0 bestaat er ook een δ > 0 : hiervoor geldt dat alle x waarden die een element zijn van domein A: 0 < |x - a| < δ ==> |f(x) - b| < ε

met andere woorden, we kunnen met willekeurige precisie, door voldoende dicht in de buurt van a te blijven, het getal b door de functie 'f' benaderen.

Maar, het probleem is dat ik niet juist op weg kan. Ik had al eens eerder aangetoond dat de limiet van 1/x^2 naar + ;) gaat als x nul nadert. Maar hier zie ik het niet meer. ik vergeet altijd hoe je moet beginnen.

iemand raad?

bedankt!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2461 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 augustus 2009 - 10:15

Je gebruikt hier een verkeeerde limietdefinitie. De definitie die jij aanhaalt heeft betrekking op de limietwaarde bij een functie. Je moet uitgaan van de definitie voor de limiet van een rij.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#3

Skyliner

    Skyliner


  • >100 berichten
  • 247 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 augustus 2009 - 10:39

oh ja, dat is al 1 punt inderdaad.

even denken, dus je zou de stelling moeten bewijzen adhv. het feit dat als een term in de noemer oneindig groot is, je functie naar nul nadert.

dus in dat geval is: lim n ;) +;) tn = b, dus voor alle ε >0 bestaat er een n0 die een element is van de natuurlijke getallen, en dus voor alle n waarden > n0 : |tn - b| < ε

is dit em? dat is de enige die ik weet voor rijen, die convergent zijn.

maar wat dan?

#4

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 augustus 2009 - 11:48

Wat ongelukkig geformuleerd, maar dat is em:
LaTeX betekent: voor alle LaTeX is er een LaTeX zodat LaTeX .
Oftewel, voor iedere foutmarge epsilon moet je een index N vinden zodat, voor alle n voorbij die index N, de fout tussen a_n en b kleiner dan epsilon is. Toegepast op jouw rij LaTeX met LaTeX :

Zij LaTeX willekeurig. Vind LaTeX zodat LaTeX .

Dit dit kan, is eenvoudig aan te voelen: 1/n2 wordt kleiner naarmate je n groter kiest. Dus door N maar groot genoeg te kiezen (en dus n>N ook groot genoeg is), krijg je 1/n2 klein genoeg.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#5

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2461 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 augustus 2009 - 11:54

Merk op dat de rij monotoon dalend is en dat de rij begrensd is. Dat betekent dat deze rij inderdaad een limiet heeft.

Veranderd door mathreak, 30 augustus 2009 - 12:00

"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#6

Skyliner

    Skyliner


  • >100 berichten
  • 247 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 augustus 2009 - 12:13

Dit dit kan, is eenvoudig aan te voelen: 1/n2 wordt kleiner naarmate je n groter kiest. Dus door N maar groot genoeg te kiezen (en dus n>N ook groot genoeg is), krijg je 1/n2 klein genoeg.


ja, aanvoelen kan ik meestal wel, aantonen is iets anders ;)
Maar eh, is je taak in dergelijke oefeningen ook niet, dat je nog een interval construeert? of bedoel je dat juist, als je zegt vind N element van natuurlijke getallen? waarschijnlijk wel.

want wat ik zou doen nog, en wat jij onrechtstreeks ook misschien hebt gedaan, is:
1/n2 < ε <=> n2 > 1/ε <=> [wortel]n2 > [wortel]1/ε <=> n >1/;)ε

want er staat altijd in onze opgaven: 'knoei met |1/n2| < ε

#7

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 augustus 2009 - 13:04

[quote name='Skyliner' post='546125' date='30 August 2009, 13:13']1/n2 < ε <=> n2 > 1/ε <=> [wortel]n2 > [wortel]1/ε <=> n >1/;)ε[/quote]Ja hoor, dat is goed. Ik kies zelf het liefst voor de eenvoudige weg (je afschatting hoeft niet zo sterk mogelijk te zijn en ik houd niet zo van wortels):

Zij Bericht bekijken
Merk op dat de rij monotoon dalend is en dat de rij begrensd is. Dat betekent dat deze rij inderdaad een limiet heeft.[/quote]Dat klopt natuurlijk, maar dat wist je al. Als je kunt aantonen dat de limiet 0 is, heb je in het bijzonder aangetoond dat de limiet bestaat.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#8

Skyliner

    Skyliner


  • >100 berichten
  • 247 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 augustus 2009 - 14:36

oke super!

bedankt

#9

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 augustus 2009 - 14:39

Graag gedaan!
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures