Springen naar inhoud

[wiskunde] stokes


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Luuk1

    Luuk1


  • >100 berichten
  • 200 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 september 2009 - 19:47

Hoi, ik heb een vraag over de stokes theorie. Ik kom op een minteken na goed uit, maar ik zie niet waar de fout zit.

Ik wil voor onderstaande vergelijking de linkerzijde en rechterzijde afzonderlijk uitrekenen, om te kijken of ze gelijk aan elkaar zijn.

LaTeX

Beschouw het oppervlakte:

stokes.JPG

Waarbij het lijnstuk op de z-as van 0 tot 2 loopt en op de y-as van 0 tot 2. Het schuine lijnstuk wordt dan dus gegeven door z = 2 - y.

Gegeven is het vectorveld:

LaTeX

Dan is

LaTeX

Dit geeft

LaTeX

=======================================================================

Dan via de lijnintegraal. De lijnintegraal langs de z-as en y-as is 0. Alleen de schuine lijn blijft dan nog over.
Ik neem langs de schuine lijn (ik begin dus in het punt (0,2,0) en loop dan naar (0,0,2) )

LaTeX

Dan is LaTeX

Dat geeft dan dus:

LaTeX

Ik zie maar niet waardoor het verschil in de LaTeX en LaTeX onstaat... ?

Veranderd door Luuk1, 06 september 2009 - 19:49


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 september 2009 - 20:01

Je vergeet een stuk in de Stelling. (Dit zou meer opvallen als je je vectoren had aangeduid, je ziet dat je in jouw linkerlid de integraal van een vector neemt en in je rechterlid de integraal van een scalair: die 2 kunnen niet gelijk zijn)
LaTeX

Het linker lid moet nog scalair vermenigvuldigd worden met de normaal die je juist moet kiezen. In dit geval is de normaal: LaTeX dus krijgt het linkerlid dat jij hebt berekend een ander teken. (http://nl.wikipedia.org/wiki/Stelling_van_Stokes)

Ik heb niet alles nagekeken maar volgens mij ligt het hieraan.

Veranderd door Xenion, 06 september 2009 - 20:07


#3

Luuk1

    Luuk1


  • >100 berichten
  • 200 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 september 2009 - 20:39

Hoi Xenion, bedankt voor je antwoord.

Ik neem in de linkerintegraal eigenlijk niet de integraal over een vector, want de notatie die ik gebruik is iets anders dan die op wikipedia staat. Namelijk LaTeX

Maar hoe kom je dan aan het minteken? Als ik tegen de klok in ga langs het oppervlakte wijst de normaalvector n toch in de positieve x-richting?

Veranderd door Luuk1, 06 september 2009 - 20:43


#4

Luuk1

    Luuk1


  • >100 berichten
  • 200 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 september 2009 - 20:50

Ik snap het al:


LaTeX

De x component staat dan inderdaad exact in de andere richting dan de normaal vector LaTeX

Dan is LaTeX

Dat zou betekenen dat uit beide integralen + 8/3 komt dus. Nu zei mijn leraar dat uit beide antwoorden - 8/3 moest komen :eusa_whistle:

Veranderd door Luuk1, 06 september 2009 - 20:52


#5

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 september 2009 - 21:13

Je leraar is correct, althans aannemende dat we - zoals gebruikelijk - de positieve oriŽntatie gebruiken. Laten we de schuine lijn inderdaad doorlopen van y=2 naar y=0; je doet juist dan iets fout in je lijnintegraal, niet in je oppervlakteintegraal.

We willen LaTeX berekenen, met:
LaTeX
LaTeX
Dan LaTeX , dus
LaTeX

Aangezien we de positieve oriŽntatie gebruiken, is de normaalvector in de positieve x-richting gericht: als je de driehoek 'linksom' doorloopt, moet de normaalvector je ogen tegemoet komen. Dus je oorspronkelijke berekening van de oppervlakteintegraal was correct:

Als ik tegen de klok in ga langs het oppervlakte wijst de normaalvector n toch in de positieve x-richting?

Dit klopt.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#6

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 september 2009 - 21:30

Hoi Xenion, bedankt voor je antwoord.

Ik neem in de linkerintegraal eigenlijk niet de integraal over een vector, want de notatie die ik gebruik is iets anders dan die op wikipedia staat. Namelijk LaTeX



Maar hoe kom je dan aan het minteken? Als ik tegen de klok in ga langs het oppervlakte wijst de normaalvector n toch in de positieve x-richting?


Ik ben je notatie niet gewend. Ik werk persoonlijk graag met pijltjes omdat je die makkelijker ziet. Als je met de hand schrijft is het ook lastiger om vectoren in bold te zetten ](*,)

@De normaal: je hebt gelijk, ik vergis mij nogal vaak met de rechterhandregel :eusa_whistle:

#7

Luuk1

    Luuk1


  • >100 berichten
  • 200 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 september 2009 - 14:18

Phys, ik neem aan dat je bedoelt:

LaTeX


Deze manier van het uitrekenen van de lijnintegraal begrijp ik. Maar ik begrijp nog steeds niet waar ik de fout in ga met mijn manier? Als ik in het punt (0,2,0) begin en naar het punt (0,0,2) loop, dan is een klein lijnsegmentje:

LaTeX

Als ik hiervan vervolgens het inproduct van neem met v, kom ik uit op:

LaTeX , een extra minteken dus :eusa_whistle:. Waar ga ik nou de fout in dan.

Nou ben ik ook in de war geraakt met die oppervlakte integraal. De normaalvector wijst inderdaad in de positieve x-richting. Maar ik had

LaTeX

Dan is LaTeX

omdat in dit geval de normaalvector en de vector in de x-richting in tegengestelde richting staan? Dit zou dus schijnbaar -2ydA moeten zijn, waar ga ik hier dan de fout in?

#8

Luuk1

    Luuk1


  • >100 berichten
  • 200 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 september 2009 - 15:47

Oke, ik heb beide problemen zelf kunnen oplossen. Ik was in het bovenstaande bericht aan het knoeien :eusa_whistle:

LaTeX

Dit leidt dan tot LaTeX

Dan de lijnintegraal:

LaTeX

Dit klopt, maar ik moet dan integreren van tot 0 tot 2, en niet van 2 tot 0. Zou ik integreren van 2 tot 0, dan wordt mijn dy negatief en dan wordt dl hiermee postiever in de y-richting, terwijl dit zou moeten afnemen. ](*,)

Veranderd door Luuk1, 07 september 2009 - 15:51


#9

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 september 2009 - 16:29

Phys, ik neem aan dat je bedoelt:

Uiteraard, excuses. Sticht ik alsnog verwarring :eusa_whistle:
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures