\( \rho=f( \theta) \)
, en 2 hoeken \( \theta_1 \)
en\( \theta_2 \)
(die de grenzen van het gebied of van de kromme aangeven)Ik probeer de formules voor de oppervlakte van het ingesloten gebied, alsook de lengte van de curve ingesloten door de 2 gegeven hoeken (min of meer intuïtief) af te leiden, maar NIET vertrekkende vanuit dezelfde formules voor een functie gegeven in x & y ( cartesische coördinaten) -want dat lukt zonder problemen-, maar wel vanuit de poolcoördinaten zelf, als volgt dus:
1) Voor de oppervlakteformule lukt dit zonder probleem:
de opp. van een cirkelsector met straal R en hoek
\( \alpha \)
is: \( \frac{1}{2}R^2 \alpha \)
dus de opp van een infinitesimaal klein circelsektorretje met straal \( \rho \)
en hoek \( d\theta \)
is dus: \(\frac{1}{2}\rho^2 d\theta \)
als ik dit 'sommeer' / integreer van \( \theta_1 \)
tot \( \theta_2 \)
dan krijg ik de juiste formule voor de oppervlakte \(\int_{t_1}^{t_2} \frac{1}{2}\rho^2 d\theta \)
2) maar als ik dezelfde werkwijze volg voor de lengte van de kromme, dan kom ik er echter niet:de lengte van een circelboog over een hoek
\( \alpha \)
met straal R is : R \( \alpha \)
de lengte van een infinitesimaal klein circelboogje met straal \( \rho \)
en hoek \( d\theta \)
is dus: \( \rho d\theta \)
als ik dit 'sommeer' / integreer van \( \theta_1 \)
tot \( \theta_2 \)
dan krijg ik deze formule: \(\int_{t_1}^{t_2} \rho d\theta \)
,wat niet klopt want er moet nog wat bij om de juiste formule te krijgen:
\(\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{ \rho ^2+(\frac{d\rho}{d\theta})^2 } d\theta \)
Wat klopt er niet aan mijn redenering, wat vergeet ik?alvast bedankt,
Westy
