Limiet voor gevorderden

dirkwb

Hoe pak ik de onderstaande limiet aan?

Afbeelding

Klintersaas

Ik begrijp de opbouw niet helemaal. Waarvoor staan de indices bij de binomiaalcoëfficiënten en wat houdt dat beletselteken voor (2n) in?

Coornhert

Ik neem aan, dat de topicstarter onder het wortelteken bedoelt:

n^(n!/n!) * (n+1)^(n!/(n-1)!) * ... * (2n)^(n!/n!)

PeterPan

Voor het gemak neem ik n=2m even. (Het algemene geval gaat net zo, maar met vervelende breuken).

Bekijk het deel onder de wortel. Neem van buiten naar binnen telkens 2 termen (met gelijke exponent),

dan is dit

\(\prod_{k=0}^{m} \left((3m)^2 - (m-k)^2\right)^{2m \choose k}\)

Dit is

\(\le \prod_{k=0}^{m} \left((3m)^2\right)^{2m \choose k} = (3m)^{\sum_{k=0}^{2m}{2m \choose k} }= (3m)^{(2^{2m})}\)

zodat

\(\limsup \le \frac32\)

Verder is het deel onder de wortel

\(\ge (3m)^{2m \choose m}\)

en dat levert met Stirling's formule

\(\liminf \ge \frac32\)

,

zodat de limiet

\(\frac32\)

is.

Klintersaas

Coornhert schreef:Ik neem aan, dat de topicstarter onder het wortelteken bedoelt:

n^(n!/n!) * (n+1)^(n!/(n-1)!) * ... * (2n)^(n!/n!)

Natuurlijk, stom dat ik dat niet gezien heb.

Mooie oplossing, PeterPan.

dirkwb

\( \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n!}{n^n} \left( \sum_{k=0}^n \frac{n^k}{k!} - \sum_{k=n+1}^{ \infty} \frac{n^k}{k!} \right) \)

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Limiet voor gevorderden

Limiet voor gevorderden

Re: Limiet voor gevorderden

Re: Limiet voor gevorderden

Re: Limiet voor gevorderden

Re: Limiet voor gevorderden

Re: Limiet voor gevorderden