Springen naar inhoud

integraal uitrekenen


  • Log in om te kunnen reageren

#1


  • Gast

Geplaatst op 04 juli 2005 - 16:10

Kheb een probleempje met het uitrekenen van onderstaande integraal:

[ = integraalteken


[x-1/x-1 dx = ?

Ik zou deze onbepaalde integraal oplossen op volgende manier:

= [(x-1) . (x-1)^-1 dx

= [(x - 1) . (x^-1 - 1^-1) dx

= [(x - 1) . (1/x - 1/1) dx

distributief bewerken geeft:

= [x - x - 1/x + 1 dx

= x/3 - x^4/4 -1 + x + c

Dit is echter niet de juiste uitkomst, dit moet zijn:

x/3 + x/2 + x + c

Wat doe ik fout?

mvg

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 juli 2005 - 16:20

Je notatie is niet helemaal duidelijk, ik neem aan dat je dit bedoelt? ;)(x3-1)/(x-1)dx

Je kunt dan het beste de breuk even herschrijven:
(x3-1)/(x-1) = (x3-x2+x2-x+x-1)/(x-1) = (x3-x2)/(x-1) + (x2-x)/(x-1) + (x-1)/(x-1) = x2+x+1

(nota bene: het blauwe stuk is bij elkaar 0, daarom mag je het erbij optellen)

Een primitieve van x2+x+1 weet je vast wel te vinden? :shock:
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#3


  • Gast

Geplaatst op 04 juli 2005 - 16:34

:shock: , idd, dat bedoelde ik, thx

maar hoe los ik dan deze op?

[x/(x + 1) dx = ? dat tussen haakjes staat naar boven halen en tot de -1e macht verheffen om dat distributief te kunnen doen geeft niet de juiste oplossing (x - Bgtg x + c) ?

#4

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 juli 2005 - 16:52

Breuken oplossen doe je meestal door aan de teller iets toe te voegen zodat het een "makkelijke" factor (bijvoorbeeld xn) scheelt met de noemer.

Bij x3/(x-1) doe je dat door boven de streep x2 af te trekken: (x3-x2)/(x-1) = x2, en dan moet je er weer x2/(x-1) bij optellen om te compenseren. Dus dan hou je een probleem van lagere orde over (wat op dezelfde manier is op te lossen).

x2/(x2+1) doe je door er (x2+1)/(x2+1) - 1/(x2+1) van te maken.
Het linkerdeel is 1, het rechterdeel kun je niet verder vereenvoudigen. Voor een primitieve van 1/(x2+1) moet je weten dat dat arctan(x) is.

Dus het antwoord wordt: ;)x2/(x2+1)dx = :shock:1-1/(x2+1)dx = x - arctan(x)
(en eventueel nog +c voor de volledigheid)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#5

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 juli 2005 - 16:55

Breuken oplossen doe je meestal door aan de teller iets toe te voegen zodat het een "makkelijke" factor (bijvoorbeeld xn) scheelt met de noemer.

Bij x3/(x-1) doe je dat door boven de streep x2 af te trekken: (x3-x2)/(x-1) = x2, en dan moet je er weer x2/(x-1) bij optellen om te compenseren. Dus dan hou je een probleem van lagere orde over (wat op dezelfde manier is op te lossen).

Klopt helemaal, maar bij zulke formules (waarbij de teller een hogere macht heeft dan de noemer) kun je ook de welbekende staartdeling toepassen. Ook dan kom je op de gesimplificeerde vorm terecht. Zoals je wel begrijpt lukt dat niet bij de tweede opgave die je gaf.
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>

#6

peterdevis

    peterdevis


  • >1k berichten
  • 1393 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 juli 2005 - 17:25

Rogier , je uitleg klopt natuurlijk. Alleen dat de primitieve van 1/x+1 de arctan(x) moet je niet weten maar berekenen bv door substitutie vav x=tan(u).
Overigens kun je deze integraal volledig met deze substitutie oplossen

x=tan(u)
x= tan(u)
x+1 = cos(u) want cos+sin=1
dx = 1/cos(u) du

invullen en oplossen
het zien duurt een seconde, de gedachte blijft voor altijd
"Blauw"

#7


  • Gast

Geplaatst op 04 juli 2005 - 17:38

thx, ik begrijp het nu wel als ik het zo zie staan maar bij sommige oefeningen kom ik er nog altijd niet uit, wsl kunnen jullie ze wel:

[cotg x dx = ? (-cotg x - x + c)

[cos x/2 dx = ? (1/2(sin x + x) + c)

[sin x/2 dx = ? (1/2(x - sin x ) + c)

Kheb zelfs geen idee hoe hieraan te beginnen, zijn hier regeltjes voor ofzo? Alvast bedankt!

#8


  • Gast

Geplaatst op 04 juli 2005 - 17:42

@peterdevis

Kwas vergeten de opgave erbij te zetten: "Los op door gebruik te maken van de standaardintegralen" dus denk niet dat we het mogen oplossen via substitutie. Toch bedankt!

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 juli 2005 - 18:00

Een voorbeeld:

;) cotg2x dx
:shock: cos2x/sin2x dx
:?: (1-sin2x)/sin2x dx
;) 1/sin2x dx - ;) sin2x/sin2x dx
-;) -1/sin2x dx - :?: 1 dx
- cotg(x) - x (+C)

Hierbij gebruikten we de hoofdformule van de goniometrie: cos2x + sin2x = 1

#10


  • Gast

Geplaatst op 04 juli 2005 - 18:36

thx, maar hoe zit het dan met de 2e (en 3e) opgave? kan ik die cos x/2 dan vervangen door iets?

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 juli 2005 - 19:30

cos(2a) = cos2a - sin2a = cos2a - (1-cos2a) = 2cos2a -1
<=> 2cos2a = cos(2a)+1 <=> cos2a = (cos(2a)+1)/2

cos2(x/2) = (cosx+1)/2 = cosx/2 + 1/2

=> ;) cos2(x/2) dx = :shock: cosx/2 + 1/2 dx = sinx/2 + x/2 + C

De 3e verloopt analoog, alleen vervang je in het begin niet de sinus maar de cosinus via de hoofdformule.

#12

mo

    mo


  • >250 berichten
  • 436 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 juli 2005 - 19:38

wanneer leer je eigenlijk integralen enzo?

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 juli 2005 - 19:39

In Belgi; 6e jaar dacht ik.
Een goede kennis van afgeleiden (wordt volgens mij in't 5e gedaan) is noodzakelijk als basiskennis.

#14

mo

    mo


  • >250 berichten
  • 436 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 juli 2005 - 19:43

pfffff pas int 6de echt klote

#15


  • Gast

Geplaatst op 04 juli 2005 - 21:12

pfffff pas int 6de echt *****


Je kunt eerder gaan beginnen met het leren van de principes van integralen, hoe is dat ontstaan..waarvoor is dat nodig.. wat kun je ermee doen?. Maar zoals eerder gezegd, integreren vereist vaak kennis over 'het omgekeerde ervan' en dat is differentieren. Het is zo dat je eerst differentieren leert dan pas integreren. Dat is blijkbaar overal in de wereld zo.
Leuke woorden, maar ze zijn zeer erg krachtig als je wiskunde/natuurkunde wilt studeren... en nie alleen wiskunde/studeren maar ook andere dingen.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures