integraal uitrekenen
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
integraal uitrekenen
Kheb een probleempje met het uitrekenen van onderstaande integraal:
[ = integraalteken
[x³-1/x-1 dx = ?
Ik zou deze onbepaalde integraal oplossen op volgende manier:
= [(x³-1) . (x-1)^-1 dx
= [(x³ - 1) . (x^-1 - 1^-1) dx
= [(x³ - 1) . (1/x - 1/1) dx
distributief bewerken geeft:
= [x² - x³ - 1/x + 1 dx
= x³/3 - x^4/4 -1 + x + c
Dit is echter niet de juiste uitkomst, dit moet zijn:
x³/3 + x²/2 + x + c
Wat doe ik fout?
mvg
[ = integraalteken
[x³-1/x-1 dx = ?
Ik zou deze onbepaalde integraal oplossen op volgende manier:
= [(x³-1) . (x-1)^-1 dx
= [(x³ - 1) . (x^-1 - 1^-1) dx
= [(x³ - 1) . (1/x - 1/1) dx
distributief bewerken geeft:
= [x² - x³ - 1/x + 1 dx
= x³/3 - x^4/4 -1 + x + c
Dit is echter niet de juiste uitkomst, dit moet zijn:
x³/3 + x²/2 + x + c
Wat doe ik fout?
mvg
- Berichten: 5.679
Re: integraal uitrekenen
Je notatie is niet helemaal duidelijk, ik neem aan dat je dit bedoelt? (x3-1)/(x-1)dx
Je kunt dan het beste de breuk even herschrijven:
(x3-1)/(x-1) = (x3-x2+x2-x+x-1)/(x-1) = (x3-x2)/(x-1) + (x2-x)/(x-1) + (x-1)/(x-1) = x2+x+1
(nota bene: het blauwe stuk is bij elkaar 0, daarom mag je het erbij optellen)
Een primitieve van x2+x+1 weet je vast wel te vinden?
Je kunt dan het beste de breuk even herschrijven:
(x3-1)/(x-1) = (x3-x2+x2-x+x-1)/(x-1) = (x3-x2)/(x-1) + (x2-x)/(x-1) + (x-1)/(x-1) = x2+x+1
(nota bene: het blauwe stuk is bij elkaar 0, daarom mag je het erbij optellen)
Een primitieve van x2+x+1 weet je vast wel te vinden?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Re: integraal uitrekenen
, idd, dat bedoelde ik, thx
maar hoe los ik dan deze op?
[x²/(x² + 1) dx = ? dat tussen haakjes staat naar boven halen en tot de -1e macht verheffen om dat distributief te kunnen doen geeft niet de juiste oplossing (x - Bgtg x + c) ?
maar hoe los ik dan deze op?
[x²/(x² + 1) dx = ? dat tussen haakjes staat naar boven halen en tot de -1e macht verheffen om dat distributief te kunnen doen geeft niet de juiste oplossing (x - Bgtg x + c) ?
- Berichten: 5.679
Re: integraal uitrekenen
Breuken oplossen doe je meestal door aan de teller iets toe te voegen zodat het een "makkelijke" factor (bijvoorbeeld xn) scheelt met de noemer.
Bij x3/(x-1) doe je dat door boven de streep x2 af te trekken: (x3-x2)/(x-1) = x2, en dan moet je er weer x2/(x-1) bij optellen om te compenseren. Dus dan hou je een probleem van lagere orde over (wat op dezelfde manier is op te lossen).
x2/(x2+1) doe je door er (x2+1)/(x2+1) - 1/(x2+1) van te maken.
Het linkerdeel is 1, het rechterdeel kun je niet verder vereenvoudigen. Voor een primitieve van 1/(x2+1) moet je weten dat dat arctan(x) is.
Dus het antwoord wordt: x2/(x2+1)dx = 1-1/(x2+1)dx = x - arctan(x)
(en eventueel nog +c voor de volledigheid)
Bij x3/(x-1) doe je dat door boven de streep x2 af te trekken: (x3-x2)/(x-1) = x2, en dan moet je er weer x2/(x-1) bij optellen om te compenseren. Dus dan hou je een probleem van lagere orde over (wat op dezelfde manier is op te lossen).
x2/(x2+1) doe je door er (x2+1)/(x2+1) - 1/(x2+1) van te maken.
Het linkerdeel is 1, het rechterdeel kun je niet verder vereenvoudigen. Voor een primitieve van 1/(x2+1) moet je weten dat dat arctan(x) is.
Dus het antwoord wordt: x2/(x2+1)dx = 1-1/(x2+1)dx = x - arctan(x)
(en eventueel nog +c voor de volledigheid)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
- Berichten: 1.460
Re: integraal uitrekenen
Klopt helemaal, maar bij zulke formules (waarbij de teller een hogere macht heeft dan de noemer) kun je ook de welbekende staartdeling toepassen. Ook dan kom je op de gesimplificeerde vorm terecht. Zoals je wel begrijpt lukt dat niet bij de tweede opgave die je gaf.Rogier schreef:Breuken oplossen doe je meestal door aan de teller iets toe te voegen zodat het een "makkelijke" factor (bijvoorbeeld xn) scheelt met de noemer.
Bij x3/(x-1) doe je dat door boven de streep x2 af te trekken: (x3-x2)/(x-1) = x2, en dan moet je er weer x2/(x-1) bij optellen om te compenseren. Dus dan hou je een probleem van lagere orde over (wat op dezelfde manier is op te lossen).
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>
-
- Berichten: 1.404
Re: integraal uitrekenen
Rogier , je uitleg klopt natuurlijk. Alleen dat de primitieve van 1/x²+1 de arctan(x) moet je niet weten maar berekenen bv door substitutie vav x=tan(u).
Overigens kun je deze integraal volledig met deze substitutie oplossen
x=tan(u)
x²= tan²(u)
x²+1 = cos²(u) want cos²+sin²=1
dx = 1/cos²(u) du
invullen en oplossen
Overigens kun je deze integraal volledig met deze substitutie oplossen
x=tan(u)
x²= tan²(u)
x²+1 = cos²(u) want cos²+sin²=1
dx = 1/cos²(u) du
invullen en oplossen
het zien duurt een seconde, de gedachte blijft voor altijd
"Blauw"
"Blauw"
Re: integraal uitrekenen
thx, ik begrijp het nu wel als ik het zo zie staan maar bij sommige oefeningen kom ik er nog altijd niet uit, wsl kunnen jullie ze wel:
[cotg² x dx = ? (-cotg x - x + c)
[cos² x/2 dx = ? (1/2(sin x + x) + c)
[sin² x/2 dx = ? (1/2(x - sin x ) + c)
Kheb zelfs geen idee hoe hieraan te beginnen, zijn hier regeltjes voor ofzo? Alvast bedankt!
[cotg² x dx = ? (-cotg x - x + c)
[cos² x/2 dx = ? (1/2(sin x + x) + c)
[sin² x/2 dx = ? (1/2(x - sin x ) + c)
Kheb zelfs geen idee hoe hieraan te beginnen, zijn hier regeltjes voor ofzo? Alvast bedankt!
Re: integraal uitrekenen
@peterdevis
Kwas vergeten de opgave erbij te zetten: "Los op door gebruik te maken van de standaardintegralen" dus denk niet dat we het mogen oplossen via substitutie. Toch bedankt!
Kwas vergeten de opgave erbij te zetten: "Los op door gebruik te maken van de standaardintegralen" dus denk niet dat we het mogen oplossen via substitutie. Toch bedankt!
- Berichten: 24.578
Re: integraal uitrekenen
Een voorbeeld:
cotg2x dx
cos2x/sin2x dx
(1-sin2x)/sin2x dx
1/sin2x dx - sin2x/sin2x dx
- -1/sin2x dx - 1 dx
- cotg(x) - x (+C)
Hierbij gebruikten we de hoofdformule van de goniometrie: cos2x + sin2x = 1
cotg2x dx
cos2x/sin2x dx
(1-sin2x)/sin2x dx
1/sin2x dx - sin2x/sin2x dx
- -1/sin2x dx - 1 dx
- cotg(x) - x (+C)
Hierbij gebruikten we de hoofdformule van de goniometrie: cos2x + sin2x = 1
Re: integraal uitrekenen
thx, maar hoe zit het dan met de 2e (en 3e) opgave? kan ik die cos² x/2 dan vervangen door iets?
- Berichten: 24.578
Re: integraal uitrekenen
cos(2a) = cos2a - sin2a = cos2a - (1-cos2a) = 2cos2a -1
<=> 2cos2a = cos(2a)+1 <=> cos2a = (cos(2a)+1)/2
cos2(x/2) = (cosx+1)/2 = cosx/2 + 1/2
=> cos2(x/2) dx = cosx/2 + 1/2 dx = sinx/2 + x/2 + C
De 3e verloopt analoog, alleen vervang je in het begin niet de sinus maar de cosinus via de hoofdformule.
<=> 2cos2a = cos(2a)+1 <=> cos2a = (cos(2a)+1)/2
cos2(x/2) = (cosx+1)/2 = cosx/2 + 1/2
=> cos2(x/2) dx = cosx/2 + 1/2 dx = sinx/2 + x/2 + C
De 3e verloopt analoog, alleen vervang je in het begin niet de sinus maar de cosinus via de hoofdformule.
- Berichten: 24.578
Re: integraal uitrekenen
In België; 6e jaar dacht ik.
Een goede kennis van afgeleiden (wordt volgens mij in't 5e gedaan) is noodzakelijk als basiskennis.
Een goede kennis van afgeleiden (wordt volgens mij in't 5e gedaan) is noodzakelijk als basiskennis.
Re: integraal uitrekenen
pfffff pas int 6de echt *****
Je kunt eerder gaan beginnen met het leren van de principes van integralen, hoe is dat ontstaan..waarvoor is dat nodig.. wat kun je ermee doen?. Maar zoals eerder gezegd, integreren vereist vaak kennis over 'het omgekeerde ervan' en dat is differentieren. Het is zo dat je eerst differentieren leert dan pas integreren. Dat is blijkbaar overal in de wereld zo.
Leuke woorden, maar ze zijn zeer erg krachtig als je wiskunde/natuurkunde wilt studeren... en nie alleen wiskunde/studeren maar ook andere dingen.