Wetenschapsforum

Kheb een probleempje met het uitrekenen van onderstaande integraal:

[ = integraalteken

[x³-1/x-1 dx = ?

Ik zou deze onbepaalde integraal oplossen op volgende manier:

= [(x³-1) . (x-1)^-1 dx

= [(x³ - 1) . (x^-1 - 1^-1) dx

= [(x³ - 1) . (1/x - 1/1) dx

distributief bewerken geeft:

= [x² - x³ - 1/x + 1 dx

= x³/3 - x^4/4 -1 + x + c

Dit is echter niet de juiste uitkomst, dit moet zijn:

x³/3 + x²/2 + x + c

Wat doe ik fout?

mvg

Je notatie is niet helemaal duidelijk, ik neem aan dat je dit bedoelt? (x³-1)/(x-1)dx

Je kunt dan het beste de breuk even herschrijven:

(x³-1)/(x-1) = (x³-x²+x²-x+x-1)/(x-1) = (x³-x²)/(x-1) + (x²-x)/(x-1) + (x-1)/(x-1) = x²+x+1

(nota bene: het blauwe stuk is bij elkaar 0, daarom mag je het erbij optellen)

Een primitieve van x²+x+1 weet je vast wel te vinden?

, idd, dat bedoelde ik, thx

maar hoe los ik dan deze op?

[x²/(x² + 1) dx = ? dat tussen haakjes staat naar boven halen en tot de -1e macht verheffen om dat distributief te kunnen doen geeft niet de juiste oplossing (x - Bgtg x + c) ?

Breuken oplossen doe je meestal door aan de teller iets toe te voegen zodat het een "makkelijke" factor (bijvoorbeeld xⁿ) scheelt met de noemer.

Bij x³/(x-1) doe je dat door boven de streep x² af te trekken: (x³-x²)/(x-1) = x², en dan moet je er weer x²/(x-1) bij optellen om te compenseren. Dus dan hou je een probleem van lagere orde over (wat op dezelfde manier is op te lossen).

x²/(x²+1) doe je door er (x²+1)/(x²+1) - 1/(x²+1) van te maken.

Het linkerdeel is 1, het rechterdeel kun je niet verder vereenvoudigen. Voor een primitieve van 1/(x²+1) moet je weten dat dat arctan(x) is.

Dus het antwoord wordt: x²/(x²+1)dx = 1-1/(x²+1)dx = x - arctan(x)

(en eventueel nog +c voor de volledigheid)

Rogier schreef:Breuken oplossen doe je meestal door aan de teller iets toe te voegen zodat het een "makkelijke" factor (bijvoorbeeld xⁿ) scheelt met de noemer.

Bij x³/(x-1) doe je dat door boven de streep x² af te trekken: (x³-x²)/(x-1) = x², en dan moet je er weer x²/(x-1) bij optellen om te compenseren. Dus dan hou je een probleem van lagere orde over (wat op dezelfde manier is op te lossen).

Klopt helemaal, maar bij zulke formules (waarbij de teller een hogere macht heeft dan de noemer) kun je ook de welbekende staartdeling toepassen. Ook dan kom je op de gesimplificeerde vorm terecht. Zoals je wel begrijpt lukt dat niet bij de tweede opgave die je gaf.

Rogier , je uitleg klopt natuurlijk. Alleen dat de primitieve van 1/x²+1 de arctan(x) moet je niet weten maar berekenen bv door substitutie vav x=tan(u).

Overigens kun je deze integraal volledig met deze substitutie oplossen

x=tan(u)

x²= tan²(u)

x²+1 = cos²(u) want cos²+sin²=1

dx = 1/cos²(u) du

invullen en oplossen

thx, ik begrijp het nu wel als ik het zo zie staan maar bij sommige oefeningen kom ik er nog altijd niet uit, wsl kunnen jullie ze wel:

[cotg² x dx = ? (-cotg x - x + c)

[cos² x/2 dx = ? (1/2(sin x + x) + c)

[sin² x/2 dx = ? (1/2(x - sin x ) + c)

Kheb zelfs geen idee hoe hieraan te beginnen, zijn hier regeltjes voor ofzo? Alvast bedankt!

@peterdevis

Kwas vergeten de opgave erbij te zetten: "Los op door gebruik te maken van de standaardintegralen" dus denk niet dat we het mogen oplossen via substitutie. Toch bedankt!

Een voorbeeld:

cotg²x dx

cos²x/sin²x dx

(1-sin²x)/sin²x dx

1/sin²x dx - sin²x/sin²x dx

- -1/sin²x dx - 1 dx

- cotg(x) - x (+C)

Hierbij gebruikten we de hoofdformule van de goniometrie: cos²x + sin²x = 1

thx, maar hoe zit het dan met de 2e (en 3e) opgave? kan ik die cos² x/2 dan vervangen door iets?

cos(2a) = cos²a - sin²a = cos²a - (1-cos²a) = 2cos²a -1

<=> 2cos²a = cos(2a)+1 <=> cos²a = (cos(2a)+1)/2

cos²(x/2) = (cosx+1)/2 = cosx/2 + 1/2

=> cos²(x/2) dx = cosx/2 + 1/2 dx = sinx/2 + x/2 + C

De 3e verloopt analoog, alleen vervang je in het begin niet de sinus maar de cosinus via de hoofdformule.

wanneer leer je eigenlijk integralen enzo?

In België; 6e jaar dacht ik.

Een goede kennis van afgeleiden (wordt volgens mij in't 5e gedaan) is noodzakelijk als basiskennis.

pfffff pas int 6de echt *****

pfffff pas int 6de echt *****

Je kunt eerder gaan beginnen met het leren van de principes van integralen, hoe is dat ontstaan..waarvoor is dat nodig.. wat kun je ermee doen?. Maar zoals eerder gezegd, integreren vereist vaak kennis over 'het omgekeerde ervan' en dat is differentieren. Het is zo dat je eerst differentieren leert dan pas integreren. Dat is blijkbaar overal in de wereld zo.

Leuke woorden, maar ze zijn zeer erg krachtig als je wiskunde/natuurkunde wilt studeren... en nie alleen wiskunde/studeren maar ook andere dingen.