Bewijs dat wortel 5 irrationaal is

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 30

Bewijs dat wortel 5 irrationaal is

Als ik het goed heb kan men bewijzen dat de vierkantswortel van 5 irrationaal is, op analoge wijze als bij vierkantswortel 2

Doch heb ik problemen met de verantwoording van een tussenstap:
\(\sqrt{5} = \frac{a}{b}\)
(met a en b onvereenvoudigbaar)

of
\(5 = \frac{a^2}{b^2}\)
\(5 b^2 = a^2\)
Waaruit volgt
\(a^2\)
is deelbaar door 5

(en deze tussenstap die volgt, daarvan begrijp ik niet hoe je deze kan verantwoorden... Ik heb al wat zitten zoeken en alles wat ik vind is (volgens VII.30 door Euclides) )

a is deelbaar door 5
\(\exists n in N: a = 5 \cdot n\)
substitutie van a
\(5b^2 = 25 n^2\)
\(b^2 = 5 n^2\)
waaruit volgt
\(b^2\)
is deelbaar door 5

opnieuw de tussenstap die ik niet echt kan verantwoorden

b is deelbaar door 5

zowel a als b deelbaar door 5, in tegenstelling met de opgezette veronderstelling.
\(\sqrt{5}\)
is irrationaals

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Bewijs dat wortel 5 irrationaal is

Zie hier, waaronder ook kortere varianten.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Bewijs dat wortel 5 irrationaal is

zie hier.
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -

Gebruikersavatar
Berichten: 30

Re: Bewijs dat wortel 5 irrationaal is

Bedankt, beide sites had ik al bekeken en het is eigenlijk dit dat ik niet begrijp:
First of all, we require the lemma:

for any prime p, and integer x,

p|x2 ⇒ p|x

That is, if x2 is divisible by p, then so is x.

Proof:

The prime factorization of x2 necessarily contains p at least once, since it is divisible by p. But it also has to contain an even power of every prime, since it is the prime factorization of a square. Therefore, it contains p at least twice, and its square root, x, contains p at least once: that is, x is divisible by p.


Mijn engels is waarschijnlijk te slecht, kan iemand me dit duidelijk verwoorden?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: Bewijs dat wortel 5 irrationaal is

p|x² ⇒ p|x wil zeggen: als p een deler is van x², dan is p ook een deler van x.

Bewijs: Omdat p een deler is van x² is x² te schrijven als pq. Omdat x² een kwadraat is betekent dit dat x² een even macht van een priemgetal moet bevatten. Dat betekent dat q ook een factor p moet bevatten, dus dat betekent dat p² een deler is van x², dus x bevat dan ook een factor p, dus is p ook een deler van x, wat te bewijzen was.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Berichten: 31

Re: Bewijs dat wortel 5 irrationaal is

als duidelijk is hoe je komt tot a² = 5b²

dan geven de volgende sites meer info

http://www.visualfractions.com/LowestCircle.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_factor

(aanvullend op de link van TD)
the more I learn the less I know

Gebruikersavatar
Berichten: 30

Re: Bewijs dat wortel 5 irrationaal is

mathreak schreef:p|x² ⇒ p|x wil zeggen: als p een deler is van x², dan is p ook een deler van x.

Bewijs: Omdat p een deler is van x² is x² te schrijven als pq. Omdat x² een kwadraat is betekent dit dat x² een even macht van een priemgetal moet bevatten. Dat betekent dat q ook een factor p moet bevatten, dus dat betekent dat p² een deler is van x², dus x bevat dan ook een factor p, dus is p ook een deler van x, wat te bewijzen was.
Zeer bedankt

Ik heb echter het meeste moeite met
Omdat x² een kwadraat is betekent dit dat x² een even macht van een priemgetal moet bevatten.
Is het mogelijk dit te verduidelijken? (bewijzen)?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Bewijs dat wortel 5 irrationaal is

Je kan x ontbinden in priemfactoren, x² heeft die factoren in het kwadraat.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 30

Re: Bewijs dat wortel 5 irrationaal is

Je kan x ontbinden in priemfactoren, x² heeft die factoren in het kwadraat.
ok, ik heb het door :eusa_whistle:

Bedankt allemaal!

Re: Bewijs dat wortel 5 irrationaal is

Algemeen: Ik neem niet
\(\sqrt{5}\)
maar
\(\sqrt{n}\)
.

Stel
\(\sqrt{n} = \frac{a}{b}\)
, waarbij de breuk niet te vereenvoudigen is.

dan is (ga na)
\(\sqrt{n} = \frac{a}{b} = \frac{bn}{a}\)
\(\frac{a}{b}\)
was niet te vereenvoudigen, dus moet (vergelijk noemers)
\(b\)
een deler zijn van
\(a\)
.

D.w.z.
\(b=1\)
en dus is
\(\frac{a}{1} = \frac{n}{a}\)
ofwel
\(n\)
is een kwadraat.

Re: Bewijs dat wortel 5 irrationaal is

Het kan veel simpeler.

Stel
\(\sqrt{N} = \frac{a}{b}\)
met breuk niet verder te vereenvoudigen.

Dan is
\(\frac{N}{1} = \frac{a^2}{b^2}\)
met breuk niet verder te vereenvoudigen (teller en noemer hebben verschillende priemdelers).

dus is
\(b^2=1\)
en N is een kwadraat.

Reageer