[Wiskunde] Integralen / Integreren
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
[Wiskunde] Integralen / Integreren
Graag wat hulp gehad bij het oplossen van volgende oefeningen:
via subtitutie oplossen:
[x sqrt(x+2) dx (opl = 2/5(x+2)^5/2 - 4/3(x+2)^3/2 + C)
[1/sqrt(1-4x²) dx (opl = 1/2 Bgsin2x + C)
met partiële integratie:
[Bgtg x dx (opl = x Bgtg x - 1/2ln(1+x²) + C)
combi:
[ dy/sqrt(C²y² + 1) (opl = 1/Cln |Cy + sqrt(C²y² + 1 | + C)
Kzou echt nie weten hoe ik die oefeningen van substitutie moet oplossen. Ben daar al ff aan bezig geweest ma kom nie aan de uitkomst. Die oef van partiële integratie hebk al voor een stukje maar kweet niet of het goed is:
=[Bgtg x x - [ d(Bgtg x) x dx (a.b - [ d(a) . b
met a = Bgtg x
d(b) = d(x)
=> b = [d(x) dx
b = [ 1 dx
b = x + c
=[Bgtg x x - [ 1/(1+x²) . x . dx
=[Bgtg x x - [ (1+x²)^-1 . x . dx
=[Bgtg x x - [(1+x²)^-1 . x²/2 - [d((1+x²)^-1 . x²/2 + C)
enz... ben ik wel goed bezig want het wordt nogal omslachtig?
via subtitutie oplossen:
[x sqrt(x+2) dx (opl = 2/5(x+2)^5/2 - 4/3(x+2)^3/2 + C)
[1/sqrt(1-4x²) dx (opl = 1/2 Bgsin2x + C)
met partiële integratie:
[Bgtg x dx (opl = x Bgtg x - 1/2ln(1+x²) + C)
combi:
[ dy/sqrt(C²y² + 1) (opl = 1/Cln |Cy + sqrt(C²y² + 1 | + C)
Kzou echt nie weten hoe ik die oefeningen van substitutie moet oplossen. Ben daar al ff aan bezig geweest ma kom nie aan de uitkomst. Die oef van partiële integratie hebk al voor een stukje maar kweet niet of het goed is:
=[Bgtg x x - [ d(Bgtg x) x dx (a.b - [ d(a) . b
met a = Bgtg x
d(b) = d(x)
=> b = [d(x) dx
b = [ 1 dx
b = x + c
=[Bgtg x x - [ 1/(1+x²) . x . dx
=[Bgtg x x - [ (1+x²)^-1 . x . dx
=[Bgtg x x - [(1+x²)^-1 . x²/2 - [d((1+x²)^-1 . x²/2 + C)
enz... ben ik wel goed bezig want het wordt nogal omslachtig?
- Berichten: 1.460
Re: [Wiskunde] Integralen / Integreren
We blijven bezig met integralen. Hoewel dit prima is (en vooral blijven doen!), denk ik dat het verstandig is om het een beetje te bundelen in één topic. Dit omdat men dan snel en gemakkelijk terug kan kijken naar voorgaande vragen (én antwoorden!). Hierdoor kan men wellicht zelfs voldoende informatie krijgen door te kijken naar voorgaande berichten.
Dus bij deze heb ik deze nieuwe topic gedoopt tot Integralen / Integreren
Gelieve dus alle nieuwe vragen over integreren en integralen in deze topic te plaatsen. Verkeerd geplaatste berichten en/of nieuwe (overbodige) threads zullen gesloten worden!
Alvast bedankt voor de medewerking.
Dus bij deze heb ik deze nieuwe topic gedoopt tot Integralen / Integreren
Gelieve dus alle nieuwe vragen over integreren en integralen in deze topic te plaatsen. Verkeerd geplaatste berichten en/of nieuwe (overbodige) threads zullen gesloten worden!
Alvast bedankt voor de medewerking.
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>
Re: [Wiskunde] Integralen / Integreren
kzie eigenlijk maar 2 mogelijkheden om te substitueren bij de eerste oefening op substitutie:
ofwel x+2 substitueren,
ofwel sqrt(x+2)
bij het eerste krijg ik dan:
[x sqrt(u) du
hier zit nu een x in die ik niet kan schrappen, hoe los ik dit dan verder op?
bij de tweede mogelijkheid krijg ik:
=[x u du/(1/2(x+2)^-1/2)
=[2 x u (x+2)^1/2 + 2^1/2 du
....
nu kan ik wel een aantal constanten buiten het integraalteken brengen maar ik blijf hier toch ook weer zitten met die x? weet mss iemand hoe ik die kwijtgeraak? thx!
ofwel x+2 substitueren,
ofwel sqrt(x+2)
bij het eerste krijg ik dan:
[x sqrt(u) du
hier zit nu een x in die ik niet kan schrappen, hoe los ik dit dan verder op?
bij de tweede mogelijkheid krijg ik:
=[x u du/(1/2(x+2)^-1/2)
=[2 x u (x+2)^1/2 + 2^1/2 du
....
nu kan ik wel een aantal constanten buiten het integraalteken brengen maar ik blijf hier toch ook weer zitten met die x? weet mss iemand hoe ik die kwijtgeraak? thx!
- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] Integralen / Integreren
x[wortel](x+2) dxAnonymous schreef:via subtitutie oplossen:
[x sqrt(x+2) dx (opl = 2/5(x+2)^5/2 - 4/3(x+2)^3/2 + C)
[1/sqrt(1-4x²) dx (opl = 1/2 Bgsin2x + C)
Stel (x+2) = y
<=> x+2 = y2
<=> x = y2 - 2
<=> dx = 2ydy
=> (y2 - 2)y 2y dy = 2y4 - 4y2 dy
1/ (1-4x2) dx
1/2 1/ (1-(2x)2) d(2x)
Dit is een bgsin in 2x, in principe is dit een substitutie y = 2x
bgtg(x) dxAnonymous schreef:met partiële integratie:
[Bgtg x dx (opl = x Bgtg x - 1/2ln(1+x²) + C)
f = bgtg(x) <=> df = 1/(1+x2) dx
dg = dx <=> g = x
=> {|= bgtg(x) dx = x*bgtg(x) - [int]x/(1+x2) dx
Voor die laatste, de afgeleide van de noemer is 2x, breng een factor 2 in de teller (dus 1/2 voor de integraal) en de primitieve is ln van de noemer.
Nu je gezien hebt hoe substitutie en PI gaat kan je die laatste misschien even zelf proberen. Als dat niet lukt laat je maar zien waar je vastzit. Succes!
-
- Berichten: 704
Re: [Wiskunde] Integralen / Integreren
dat laatste berust dus op de truc f'(x) / f(x) dx = ln |f(x)|
--> x / (1+x^2) dx = 1/2 * 2x / (1 + x^2) dx
nu staat in de teller de afgeleide van de noemer en geldt dus als primitieve 1/2 * ln | 1 + x^2 |
--> x / (1+x^2) dx = 1/2 * 2x / (1 + x^2) dx
nu staat in de teller de afgeleide van de noemer en geldt dus als primitieve 1/2 * ln | 1 + x^2 |
-
- Berichten: 87
Re: [Wiskunde] Integralen / Integreren
Ik heb ook een vraag:
Wat is de primitieve van sin²x * sin(2x)
En hoe moet ik dit aanpakken?
Wat is de primitieve van sin²x * sin(2x)
En hoe moet ik dit aanpakken?
-
- Berichten: 704
Re: [Wiskunde] Integralen / Integreren
substitutiemethode door u = sin^2 (x) te kiezen:arual schreef:Ik heb ook een vraag:
Wat is de primitieve van sin²x * sin(2x)
En hoe moet ik dit aanpakken?
u = sin^2 (x) --> du/dx = 2sin x * cos x
--> zoals je weet is 2 sinx * cos x = sin 2x, dus krijgen we dx = du/sin (2x)
--> sin^2 (x) * sin (2x) dx = u * sin (2x) * du/sin(2x) = u du
--> dus de primitieve wordt dan 1/2 * sin^4 (x) + c
-
- Berichten: 87
Re: [Wiskunde] Integralen / Integreren
Ik begrijp die laatste zin niet..."dus de primitieve wordt dan......"
Hoe kom je daaraan?
Hoe kom je daaraan?
-
- Berichten: 704
Re: [Wiskunde] Integralen / Integreren
de primitieve van u du = 1/2 * u^2 + carual schreef:Ik begrijp die laatste zin niet..."dus de primitieve wordt dan......"
Hoe kom je daaraan?
substitueer nu sin^2 (x) voor u en dat levert 1/2 * sin^4 (x) + c op
-
- Berichten: 704
Re: [Wiskunde] Integralen / Integreren
ooit gehoord van integratieregels?Waar komt die 0.5 en u² vandaan?
voor elke x^n behalve n = -1 geldt de primitieve 1/(n+1)x^(n+1)
Re: [Wiskunde] Integralen / Integreren
Ja...die staat op de formulekaart...maar ik zie nog steeds niet hoe het zit. En moet je niet gewoon de primitieve nemen van u * du... ipv de primitieve van de integraal van u * du?
- Berichten: 1.460
Re: [Wiskunde] Integralen / Integreren
Misschien tijd voor een iets andere aanpak (met uiteraard dezelfde uitkomst!):
Duidelijker?
Duidelijker?
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>
-
- Berichten: 704
Re: [Wiskunde] Integralen / Integreren
Ja...die staat op de formulekaart...maar ik zie nog steeds niet hoe het zit. En moet je niet gewoon de primitieve nemen van u * du... ipv de primitieve van de integraal van u * du?
ik neem toch ook de primitieve van u * du
- Berichten: 1.460
Re: [Wiskunde] Integralen / Integreren
@sdekivit: ik heb hem ook in Maple berekend, maar die geeft een (wellicht op het eerste gezicht) vreemd antwoord.
Kun jij dit rijmen met ons antwoord?
Kun jij dit rijmen met ons antwoord?
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>