Springen naar inhoud

[wiskunde] pythagorische drietallen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Jeffreih

    Jeffreih


  • >25 berichten
  • 27 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 september 2009 - 23:25

Als opdracht voor wiskunde hebben we de volgende vraag meegekregen:

Vind alle Pythagorische drietallen {x, y, z} met x+y+z=616. Laat zien dat er geen andere oplossingen zijn dan die je geeft.

Door een scheve aansluiting van het openbaar vervoer heb ik het hele eerste college gemist, waarin stof behandeld werd die betrekking had op dit onderdeel. Het enige wat ik weet is dat het deels over de Stelling van Fermat ging.

Het volgende heb ik zelf gevonden, waar ik deels mee aan de slag kan:

LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX

Voor de kleinste waarden van m en n krijgen we:
m=1
n=2
Invullen:
x=2^2-1^2 = 4-1 = 3
y = 2*1*2 = 4
z = 2^2 + 1^2 = 4+1 = 5

Inderdaad een Pythagorisch drietal, want x²+y²=z². De waarde van x+y+z = 3+4+5 = 12... Ver weg van de benodigde 616.

Nu kan ik zo doorgaan tot ik ooit een Pythagorisch drietal vind, waarbij x+y+z=616, maar hoe doe ik dat zonder gebruik te maken van programma's of ellenlange tabellen op te stellen**?

** http://www.math.uic....le/triples.html -> Zo'n tabel. Ik kan hem zelf wel opstellen en uitwerken, maar of dat nou echt een geaccepteerde oplossing is... :eusa_whistle:

Tips zijn welkom ](*,)

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

jhnbk

    jhnbk


  • >5k berichten
  • 6905 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 september 2009 - 06:58

Dit gaat je zeker helpen: http://en.wikipedia....rating_a_triple
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

#3

Bvdz

    Bvdz


  • >25 berichten
  • 74 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 september 2009 - 16:23

misschien LaTeX vervangen door LaTeX
en dat gelijk stellen aan 616

#4

Jeffreih

    Jeffreih


  • >25 berichten
  • 27 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 september 2009 - 19:07

Bedankt voor de link, heb het zelf op een ietwat andere manier gedaan nu:

LaTeX
Geeft:
p - g(p)
1 - 616
2 - 308
4 - 154
7 - 88
8 - 77
11 - 56
14 - 44
22 - 28
etc.

616, en dus x+y+z, moet dan een veelvoud van één van die waarden zijn. Nu heb ik de manier met m en n gebruikt om steeds drietallen te vinden, met n=m+1, om x+y+z zo groot mogelijk te krijgen

n=4
m=3
Geeft:
x = n²-m² = 4²-3² = 7
y = 2mn = 2*3*4 = 24
z = n²+m² = 3²+4² = 25

x+y+z = 7+24+25 = 56
Uit die tabel volgt dat 11*56=616, en dus dat dit een goede oplossing is.
Nu moet gelden dat x²+y²=z². 7²+24² = 625 = 25²
Dit moet vermenigvuldigd worden met 11, om op een drietal uit te komen met als som 616.
x = 11*7 = 77
y = 11*24 = 264
z = 11*25 = 275
Kijken of x²+y²=z² nog steeds geldt; 77²+264² = 75625 = 275²
x+y+z = 77+264+275 = 616

{77, 264, 275} is dus één van de oplossingen. Andere oplossingen kan ik wel vinden als ik zo door blijf gaan, zij het op een langzame manier, maar hoe toon ik aan dat ik alle drietallen heb opgesomd?
Andere methodes om Pythagorische drietallen te vinden (via deze pagina) geven vaak niet alle mogelijkheden.

@Bvdz:
Als ik dat doe krijg ik:
(n²-m²)+(2mn)+(n²+m²) = 616
Dan zit ik nog met twee onbekenden... :­(

#5

Bvdz

    Bvdz


  • >25 berichten
  • 74 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 september 2009 - 19:57

LaTeX

LaTeX

LaTeX

LaTeX

Nou kan je bij iedere n de m berekenen.

Veranderd door Bvdz, 16 september 2009 - 19:58


#6

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 16 september 2009 - 21:24

LaTeX



LaTeX

LaTeX

LaTeX

Dus n is deler van 308.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures